Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca[1]. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.
Opis matematyczny
Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:
![{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n}\epsilon _{n}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}(E_{n}+\mu )a_{n}^{\dagger }a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec75425c6b4976e1c12d5f06f2edd08efa955a87)
gdzie:
– energia
-tego stanu,
– potencjał chemiczny.
Energia wewnętrzna gazu Fermiego
Do dalszych obliczeń przyjmiemy
Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:
![{\displaystyle N=\int \limits _{0}^{\infty }dE\rho (E){\frac {1}{\exp(\beta E)+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95c3b237987897a43cac0ed2ded11793ab237d9)
gdzie:
– gęstość stanów,
– masa fermionów,
– stała Plancka,
– objętość, w której znajdują się fermiony,
– rozkład Fermiego-Diraca,
– czynnik Boltzmanna, ![{\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\sqrt {E}}{\frac {1}{\exp(\beta E)+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da857be97df8bd94b54b720cf4e874356352e28)
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
![{\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\beta ^{-{\frac {3}{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\exp(x)+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72402c519e1906d987ffba53e97953fe48630d6)
Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2
Ostatecznie otrzymujemy:
![{\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\eta \left({\frac {3}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30fb159b20f1a9f7fdb4dfa4722561fe13b0569)
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:
![{\displaystyle U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\frac {E^{\frac {3}{2}}}{\exp(\beta E)+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39d455ca57aa2007ae28c502eae41ac6dbbe45c)
otrzymujemy:
![{\displaystyle U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {5}{2}}\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\eta \left({\frac {5}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d6f1d9449696dcb65fc07d26a78b2de355744c)
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
![{\displaystyle U={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}Nk_{B}T\propto Nk_{B}T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c065d5317346d8e229eee2e438f14733c9182b4d)
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
Ciśnienie gazu Fermiego
Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:
![{\displaystyle p={\frac {\partial U}{\partial V}}={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}{\frac {\partial N}{\partial V}}k_{B}T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02173ec408cebe68c306c3d51297bb597931d9d)
Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy
![{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial V}}={\frac {N}{V}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58418bdb6f4006fb1b94277e5ca96ad471d90988)
gdzie:
– liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd
![{\displaystyle p={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}nk_{B}T\propto nk_{B}T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a38071d662adc45142515ca4e5acc89b802abac)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Fermiego gaz, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
- PWN: 3900492
- БРЭ: 4709640
- SNL: fermigass
- Catalana: 0026483