Grupa wolna

Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak ${\displaystyle st^{-1}=su^{-1}ut^{-1},}$ gdzie ${\displaystyle s,t,u}$ należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę ${\displaystyle F}$ nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór ${\displaystyle X\subseteq F}$ taki, że każde przekształcenie ${\displaystyle X}$ w dowolną grupę ${\displaystyle G}$ można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu ${\displaystyle f\colon F\to G.}$

Można udowodnić, że każdy taki zbiór ${\displaystyle X}$ musi być układem generatorów grupy ${\displaystyle F,}$ tzn. nie ma podgrupy ${\displaystyle F'\subseteq F}$ spełniącej ${\displaystyle X\subseteq F'}$ i ${\displaystyle F'\neq F.}$

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór ${\displaystyle X.}$ Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

• Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
• Każda grupa ${\displaystyle G}$ jest obrazem ustalonego homomorfizmu ${\displaystyle h}$ pewnej grupy wolnej ${\displaystyle F.}$
• Jeżeli ${\displaystyle H=\ker h,}$ to obraz układu wolnych generatorów grupy ${\displaystyle F}$ tworzy układ generatorów grupy ${\displaystyle G.}$
• Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że ${\displaystyle f(k)=e,}$ gdzie ${\displaystyle k\in H}$ są generatorami ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle e}$ oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę ${\displaystyle G.}$
• Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

• Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
• Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter ${\displaystyle l,p,L,P}$ w których nie występują pary ${\displaystyle [l,p],[p,l],[L,P],[P,L].}$ Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par, czyli np.:
  • ${\displaystyle llPl*Pl=llPlPl}$
  • ${\displaystyle llPl*lPl=llPllPl}$
  • ${\displaystyle llPp*lP=llPP}$
  • ${\displaystyle llPl*pL=ll}$
  • ${\displaystyle llPl*pLpp=\varnothing ,}$ czyli ciąg pusty.

tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: ${\displaystyle \{l,L\}.}$ Elementem odwrotnym do ${\displaystyle l}$ jest ${\displaystyle p;}$ odwrotnym do ${\displaystyle L}$ jest ${\displaystyle P.}$ Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter ${\displaystyle \langle l,\ p\rangle }$ oraz ${\displaystyle \langle L,\ P\rangle .}$ Elementem neutralnym – ciąg pusty.

• grupa rozwiązalna
• homomorfizm

• Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notions of Algebra. Springer, s. 134.