Hipoteza Chowli

Hipoteza Chowli jest problemem otwartym z dziedziny teorii liczb. Hipoteza dotyczy zachowania funkcji Möbiusa na przedziałach kolejnych ${\displaystyle m}$ liczb całkowitych, dla ${\displaystyle m}$ będącego liczbą naturalną. Została sformułowana przez Sarvadamana Chowlę w 1966^[1].

W uproszczeniu hipoteza mówi, że np. dwójka ${\displaystyle (\mu (n),\mu (n+1))}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant n\leqslant x,}$ ${\displaystyle n}$ bezkwadratowych przyjmuje wartości ${\displaystyle (1,1),}$ ${\displaystyle (1,-1),}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ i ${\displaystyle (-1,-1)}$ „mniej więcej” tak samo często, ${\textstyle ({\frac {1}{4}}+o(1))x}$ razy.

Poniższe sformułowanie hipotezy należy do Terrence’a Tao^[2]. Treść można wyrazić na wiele równoważnych sposobów^[1][3][4].

Niech ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$ będą nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest nieparzysta. Wówczas

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\mu (n+1)^{a_{1}}\mu (n+2)^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot \mu (n+m)^{a_{m}}=o(x)}$

przy ${\displaystyle x\to \infty .}$

Hipotezę można równoważnie sformułować zastępując funkcję Möbiusa funkcją Liouville’a.

W najprostszym przypadku ${\displaystyle m=1}$ i ${\displaystyle a_{1}=1}$ hipoteza postuluje, że

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\mu (n)=o(x)}$

i jest równoważna twierdzeniu o liczbach pierwszych.

Hipotezę słabszą od Chowli (implikowaną przez nią) sformułował Peter Sarnak^[5]. Opisuje ona zachowanie funkcji ${\displaystyle \mu }$ z perspektywy teorii układów dynamicznych.

Niech ${\displaystyle (X,T)}$ będzie dowolnym topologicznym układem dynamicznym, gdzie ${\displaystyle (X,d)}$ jest przestrzenią metryczną, a ${\displaystyle T}$ jest homeomorfizmem o zerowej entropii topologicznej. Wówczas, dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in C(X)}$ i dowolnego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}f(T^{n}x)\mu (n)=o(N)}$

przy ${\displaystyle N\to \infty .}$

Wiadomo, że hipoteza Chowli jest równoważna przeformułowanej, tzw. silnej hipotezie Sarnaka^[3].