Jedynka hiperboliczna – tożsamość hiperboliczna postaci[1]:
![{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3b3860fa2f9cdd7507e5462482d9b8a0916e5f)
spełniona dla każdej rzeczywistej lub zespolonej wartości x.
Dowód
Sposób 1:
Jak wiemy:
![{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7012f6573fb702ef18a0732fa3dfce1c0c0ad415)
![{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8015e02763446131f8660410c45cd6973b46d1)
stąd:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}-{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}+(-e^{x})+e^{-x}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\\=\ &{\frac {2e^{-x}}{2}}\cdot {\frac {2e^{x}}{2}}\\=\ &e^{-x}\cdot e^{x}=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a2c27660f5daf41d1d49babef87ec422257e2d)
c.b.d.o.
Sposób 2:
Skorzystamy ze:
- związku między funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi
![{\displaystyle \cosh x=\cos(ix),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d49c71128610f4a98bd26ad55dbb3eaa6a9182)
![{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bdd8fc568c45d8d01845b44e07bfc753e1c9b2)
- jedynki trygonometrycznej słusznej dla każdej liczby zespolonej,
stąd:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x\\=\ &\cos ^{2}(ix)-\left(-i\sin(ix)\right)^{2}\\=\ &\cos ^{2}(ix)-(-i)^{2}\cdot \sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)-(-1)^{2}i^{2}\cdot \sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)-i^{2}\sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)+\sin ^{2}(ix)\\=\ &1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6656340eac4484ab9ed4d20bc89a1980a2de6394)
c.b.d.o.
Przypisy
- ↑ funkcje hiperboliczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-12] .