Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci[1]:
![{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed41a63443286761d95a27a1661a4f17402e08f8)
Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta
a także ogólniej dla argumentów zespolonych.
Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:
![{\displaystyle \sec ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489b004f3a2693dd8cad9a3e0adf83dc1fea46b8)
![{\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}x-\operatorname {ctg} ^{2}x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacc0548f6be802fdd1ebc9682bc9d02f21c1302)
Dowód
Sposób 1:
Niech
Zauważmy, że:
![{\displaystyle |\angle {PX_{0}O}|={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc9cbac1a456a7c9403e9f3811a228ab5f10a01)
więc trójkąt
jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:
![{\displaystyle r^{2}=|x_{0}|^{2}+|y_{0}|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d725e1f9b6c39c7974e7671b2b0c179c1388797)
![{\displaystyle r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7d458fb5c168428da51fcca61a5e37d11c6607)
![{\displaystyle 1=\left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5181b140f6950cf01a0ab34db9d877da3d58757a)
Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie
![{\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d0d45c5fa90a2bc2998cace35dcddb50d8d38a)
jest równe
![{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090c7e64da60ee567b0963fec56cc048037d683e)
Zatem
![{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efad30cae126970c26c2b75a31255b9d10a79f36)
q.e.d.
Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.
Sposób 2:
Ze wzoru Eulera:
![{\displaystyle \sin {x}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffb63b4b3afa71afc430455303e969eac42f665)
oraz
![{\displaystyle \cos {x}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8412bc0e68b187e64b93c1bf65e1bf7b812aca3)
Zatem
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}+{\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2}{4}}=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571ee4ba50ce26a8979e23daa6324a64c9727459)
q.e.d.
Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.
Sposób 3:
Niech:
![{\displaystyle f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5397b3964507e85355c1fe48929e863c6820b16f)
Zauważmy, że:
![{\displaystyle f(0)=\sin ^{2}0+\cos ^{2}0=0^{2}+1^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd16efe52b7281d5df70449a9beccfc043cd7b0)
Także:
![{\displaystyle f'(x)=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)'=\sin x\cos x+\sin x\cos x-\sin x\cos x-\sin x\cos x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6db102fd164bd2a65ac92299e4d79a8ce52571b)
Skoro pochodna funkcji
jest równa 0, to funkcja
musi być funkcją stałą.
Wiedząc, że
oraz że funkcja
jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że
![{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed41a63443286761d95a27a1661a4f17402e08f8)
q.e.d.
Zobacz też
- funkcje trygonometryczne
- jedynka hiperboliczna
Przypisy
- ↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.
Trygonometria
działy | - goniometria
- trygonometria sferyczna
|
---|
funkcje trygonometryczne | - sinus
- cosinus
- tangens
- cotangens
- secans
- cosecans
|
---|
tożsamości trygonometryczne | |
---|
inne twierdzenia | |
---|
zagadnienia | |
---|
funkcje odwrotne – cyklometryczne | - arcus sinus
- arcus cosinus
- arcus tangens
- arcus cotangens
- arcus secans
- arcus cosecans
|
---|
powiązane pojęcia | geometryczne | |
---|
algebraiczne | |
---|
inne | |
---|
|
---|
powiązane działy matematyki | |
---|
badacze | |
---|
pokrewne funkcje | |
---|