Koniunkcja (logika)
![]() | Zobacz też: inne znaczenia słowa „koniunkcja”. |
Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać i... i Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q[1][2]. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2]. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.
Definicja
Niech będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: Koniunkcja jest funkcją dwuargumentową ze zbioru w zbiór [a], określoną następująco:
lub równoważnie
Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2].
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe
Oznaczenia
Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów[4][5]:
Schröder Peirce | Peano Russell | Hilbert | Łukasiewicz | |
---|---|---|---|---|
Koniunkcja |
Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).
Własności
Osobny artykuł: prawa rachunku zdań.
Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:
- łączność
- rozdzielność względem alternatywy
- prawa De Morgana
- Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji[10].
Przykłady
- Koniunkcja jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
- Koniunkcja jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
- „Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
- „Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)
Koniunkcja binarna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/AND_gate_IEC_and_IEEE.svg/250px-AND_gate_IEC_and_IEEE.svg.png)
W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:
14 & 4 = 0001110 & 0000100 (liczby w systemie binarnym) = 0000100 (efekt operacji na kolejnych cyfrach) = 4 (wynik w postaci dziesiętnej)
W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).
Koniunkcja a język naturalny
Symbol odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.
Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon[11].
Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż[12]. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty[11].
Zobacz też
![]() | Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika |
![]() | Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Koniunkcja |
![]() | Zobacz hasło AND w Wikisłowniku |
Uwagi
- ↑ Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).
Przypisy
- ↑ a b c d Mostowski 1948 ↓, s. 8.
- ↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 163.
- ↑ a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
- ↑ Mostowski 1948 ↓, s. 13.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
- ↑ a b c Mostowski 1948 ↓, s. 28.
- ↑ a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 196.
- ↑ Mostowski 1948 ↓, s. 29.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 195.
- ↑ Mostowski 1948 ↓, s. 27.
- ↑ a b Strawson 1952 ↓, s. 80.
- ↑ Kleene 1967 ↓, s. 64.
Bibliografia
- Stephen C. Kleene: Mathematical logic. New York: Wiley, 1967. OCLC 523472.
- Andrzej Stanisław Mostowski: Logika matematyczna. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
- Peter F. Strawson: Introduction to logical theory. London: Methuen, 1952. OCLC 373139.
- GND: 4164990-4
- Britannica: topic/conjunction-logic