Kumulanta

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami ${\displaystyle \kappa _{n}}$ rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

${\displaystyle E\left(e^{tX}\right)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}t^{n}/n!\right),}$

gdzie ${\displaystyle X}$ jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, ${\displaystyle {\frac {\kappa _{n}}{n!}}}$ jest ${\displaystyle n}$-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Zachodzą następujące własności:

• ${\displaystyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c,}$
• ${\displaystyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2,}$

gdzie ${\displaystyle c}$ jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:

${\displaystyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa (X).}$

Jeśli ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\kappa _{n}(X)+\kappa _{n}(Y).}$

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

${\displaystyle \kappa _{n}=m_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}m_{n-k}.}$

${\displaystyle n}$-ty moment zwykły ${\displaystyle m_{n}}$ jest wielomianem ${\displaystyle n}$-tego stopnia w pierwszych ${\displaystyle n}$ kumulantach, zatem:

${\displaystyle m_{1}=\kappa _{1}}$

${\displaystyle m_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}}$

${\displaystyle m_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}}$

${\displaystyle m_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}}$

${\displaystyle m_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}}$

${\displaystyle m_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.}$

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie ${\displaystyle \kappa _{1}}$ występuje jako czynnik.

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

${\displaystyle m_{n}=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa _{\left|B\right|},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \pi }$ przebiega przez wszystkie podziały zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego,
• „${\displaystyle B\in \pi }$” jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony,
• ${\displaystyle |B|}$ jest liczebnością zbioru ${\displaystyle B.}$

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi ${\displaystyle n}$ (np. dla ${\displaystyle \kappa _{3}\ \kappa _{2}^{2}\ \kappa _{1},}$ suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej ${\displaystyle n}$ odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów ${\displaystyle n}$-elementowego zbioru, które łączą się w podziały ${\displaystyle n}$ kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

• Kumulanty rozkładu normalnego o średniej ${\displaystyle \mu }$ i odchyleniu standardowym ${\displaystyle \sigma }$ wynoszą ${\displaystyle \kappa _{1}=\mu ,}$ ${\displaystyle \kappa _{2}=\sigma ^{2}}$ i ${\displaystyle \kappa _{n}=0}$ dla ${\displaystyle n>2.}$

• Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej tego rozkładu.

• Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony ciągiem Grama-Charliera lub ciągiem Edgewortha.

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• moment zwykły, moment centralny