Kwadrat logiczny
Kwadrat logiczny – diagram przedstawiający relacje (m.in. wynikania, równoważności bądź wykluczania) pomiędzy szczególnymi rodzajami zdań logicznych. Klasyczny (oparty na logice arystotelesowskiej) kwadrat logiczny to graficzne przedstawienie zależności zachodzących między poszczególnymi zdaniami kategorycznymi[1]. Współcześnie kwadratem logicznym nazywa się także diagram obrazujący powiązania pomiędzy różnymi typami implikacji.
Prawa opozycji
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Kwadratlog1.svg/400px-Kwadratlog1.svg.png)
Zależności między zdaniami tradycyjnego kwadratu logicznego opisał Arystoteles w dziele O interpretacji, natomiast ich graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest o kilka wieków późniejsze. Na gruncie współczesnej logiki formalnej podstawowym zarzutem wobec tradycyjnego kwadratu logicznego jest to, że zastosowanie w nim jako podmiotu (S) nazwy pustej, czyli nie posiadającej desygnatów (np. jednorożec), prowadzi do problemów interpretacyjnych i paradoksów[2] .
Zdania kategoryczne
Osobny artykuł: Teoria nazw.
W logice tradycyjnej tzw. zdania kategoryczne zbudowane są z podmiotu (S) i predykatu (P). Predykat może podlegać negacji lub nie, a podmiot może występować w postaci ogólnej (wszystkie S) lub szczegółowej (pewne S). Daje to cztery główne typy zdań kategorycznych[3]:
- zdanie ogólno-twierdzące „Każde S jest P” (symbolicznie ), np. „Każdy filozof jest łysy”;
- zdanie ogólno-przeczące „Żadne S nie jest P” np. „Żaden filozof nie jest łysy”;
- zdanie szczegółowo-twierdzące „Niektóre S są P” np. „Niektórzy filozofowie są łysi”;
- zdanie szczegółowo-przeczące „Niektóre S nie są P” np. „Niektórzy filozofowie nie są łysi”.
Symboliczny zapis zdań kategorycznych pochodzi od odpowiednich słów języka łacińskiego: subiectum (podmiot), praedicatum (orzecznik), affirmo (twierdzę), nego (przeczę)[3][4].
Zapis graficzny
Na rysunku obok strzałki oznaczają wynikanie, linia kropkowana łączy zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa (niewspółprawdziwe), zielona linia przerywana łączy zdania podprzeciwne (niewspółfałszywe), a czerwona linia przerywana zdania sprzeczne.
Zapis formalny
Te same zależności można przedstawić klasycznymi funktorami prawdziwościowymi stosowanymi w rachunku zdań – przy czym nazywa się je prawami opozycji bądź prawami kwadratu logicznego[5]:
S a P S o P
S e P S i P
S a P S e P
S i P S o P
S a P S i P
S e P S o P
Dzięki znajomości praw opozycji możemy w niektórych przypadkach na podstawie informacji o wartości logicznej jednego ze zdań, określić wartość logiczną innego zdania. Np. wiedząc, że zdanie S a P jest prawdziwe, możemy ustalić, iż zdania S e P oraz S o P są fałszywe, a zdanie S i P jest prawdziwe.
Prawa transpozycji
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Kwadratlog2.svg/400px-Kwadratlog2.svg.png)
Współcześnie kwadratem logicznym bywa też nazywany inny diagram o tym samym kształcie, obrazujący zależności między różnymi typami twierdzeń (implikacji). W odróżnieniu od tradycyjnego kwadratu logicznego, zdania przyporządkowane przeciwległym wierzchołkom kwadratu są w nim równoważne, a nie sprzeczne.
Typy implikacji
Dla danej implikacji zwanej prostą, wyróżnia się następujące typy zdań[6][7]:
Na ogół z prawdziwości implikacji prostej nie wynika prawdziwość implikacji odwrotnej ani przeciwnej; implikacja prosta jest natomiast równoważna implikacji przeciwstawnej[8].
Prawo transpozycji
Prawo transpozycji (nazywane także prawem kontrapozycji) mówi, że implikacja prosta jest równoważna implikacji przeciwstawnej:
Na diagramie zobrazowane to jest przez połączenie implikacji prostej z implikacją przeciwstawną za pomocą czerwonej przerywanej linii (przekątnej kwadratu).
Również implikacja odwrotna i przeciwna są połączone przerywaną czerwoną linią. Poprzez zamianę zmiennych (podstawienie za i odwrotnie) z powyższej tautologii otrzymujemy bezpośrednio zdanie:
Zatem implikacje odwrotna i przeciwna także są równoważne.
Dowodzenie równoważności
Aby udowodnić równoważność dowodzi się osobno implikacji i implikacji odwrotnej Ponieważ zdania leżące w przeciwległych wierzchołkach kwadratu logicznego są równoważne, wynika z tego, że do dowodu równoważności zdań i wystarczy udowodnić prawdziwość dowolnych dwóch implikacji, umieszczonych wzdłuż tego samego boku kwadratu logicznego[10].
Przypisy
- ↑ kwadrat logiczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-05-27] .
- ↑ Parsons 2017 ↓.
- ↑ a b Lewandowski i in. 2010 ↓, s. 149.
- ↑ Ajdukiewicz 1957 ↓, s. 111.
- ↑ Lewandowski i in. 2010 ↓, s. 155.
- ↑ a b Rasiowa 1975 ↓, s. 183.
- ↑ Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 292.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 183–184.
- ↑ Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 227.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 184.
Bibliografia
- Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
- Sławomir Lewandowski, Hanna Machińska, Andrzej Malinowski, Jacek Pecel: Logika dla prawników. Andrzej Malinowski (red.). Wyd. 6. Warszawa: LexisNexis, 2010. ISBN 978-83-7620-432-1.
- Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
- TerenceT. Parsons TerenceT., The Traditional Square of Opposition, Edward N.E.N. Zalta (red.), [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2017 Edition, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 12 kwietnia 2017, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21] (ang.).
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne
- Międzynarodowy Kongres poświęcony kwadratowi logicznemu
- Britannica: topic/square-of-opposition
- SEP: square
- DSDE: logisk_kvadrat