Lemat Hensela

Lemat Hensela – twierdzenie w teorii liczb sformułowane przez Kurta Hensela mówiące o istnieniu rozwiązań równania wielomianowego modulo ${\displaystyle p^{n}}$, gdy znane są rozwiązania modulo ${\displaystyle p}$.

Niech ${\displaystyle f(x)}$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech ${\displaystyle p}$ będzie liczbą pierwszą. Jeśli istnieje taka liczba całkowita ${\displaystyle a_{0}}$, że

${\displaystyle f(a_{0})\equiv 0{\pmod {p}}}$ i ${\displaystyle f'(a_{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}}$,

to istnieje nieskończony ciąg ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$ liczb całkowitych spełniający dla każdego ${\displaystyle n\geq 1}$ warunki

${\displaystyle f(a_{n})\equiv 0{\pmod {p^{n+1}}}}$ oraz ${\displaystyle a_{n}\equiv a_{n-1}{\pmod {p^{n}}}}$.

Ponadto jeśli ciąg ${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )}$ również spełnia te warunki i ${\displaystyle a_{0}\equiv b_{0}{\pmod {p}}}$, to ${\displaystyle a_{n}\equiv b_{n}{\pmod {p^{n+1}}}}$ dla każdego ${\displaystyle n\geq 0}$.

Udowodnimy, że dla liczby pierwszej ${\displaystyle p>2}$ oraz ${\displaystyle a}$ niepodzielnego przez ${\displaystyle p}$ kongruencja ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}}$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$ jest resztą kwadratową modulo ${\displaystyle p}$, czyli kongruencja ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$ ma rozwiązanie.

Oczywiście z ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}}$ wynika natychmiast ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$. Aby wykazać wynikanie w drugą stronę, posłużymy się lematem Hensela. Przyjmijmy ${\displaystyle f(x)=x^{2}-a}$. Niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie rozwiązaniem kongruencji ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$. Z założenia ${\displaystyle p\nmid a}$ wnioskujemy, że ${\displaystyle p\nmid x_{0}}$. Wówczas ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}^{2}-a\equiv 0{\pmod {p}}}$ oraz ${\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$. Zatem spełnione są założenia lematu Hensela.

Na mocy lematu Hensela istnieje taki ciąg ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$, że ${\displaystyle f(x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{n+1}}}}$. W szczególności ${\displaystyle x_{n-1}}$ jest rozwiązaniem kongruencji ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}}$. To kończy dowód.

Odpowiednio sformułowany lemat Hensela jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania równań w ciałach ${\displaystyle p}$-adycznych. Wówczas przedstawione wzory są analogiczne do metody Newtona przybliżonego rozwiązywania równań w liczbach rzeczywistych^[2].

• Hensel lemma (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].