Lemat Hensela – twierdzenie w teorii liczb sformułowane przez Kurta Hensela mówiące o istnieniu rozwiązań równania wielomianowego modulo
, gdy znane są rozwiązania modulo
.
Niech
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech
będzie liczbą pierwszą. Jeśli istnieje taka liczba całkowita
, że
| | i , | | |
to istnieje nieskończony ciąg
liczb całkowitych spełniający dla każdego
warunki
| | oraz . | | |
Ponadto jeśli ciąg
również spełnia te warunki i
, to
dla każdego
.
Zastosowania
Reszty kwadratowe modulo
Udowodnimy, że dla liczby pierwszej
oraz
niepodzielnego przez
kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
jest resztą kwadratową modulo
, czyli kongruencja
ma rozwiązanie.
Oczywiście z
wynika natychmiast
. Aby wykazać wynikanie w drugą stronę, posłużymy się lematem Hensela. Przyjmijmy
. Niech
będzie rozwiązaniem kongruencji
. Z założenia
wnioskujemy, że
. Wówczas
oraz
. Zatem spełnione są założenia lematu Hensela.
Na mocy lematu Hensela istnieje taki ciąg
, że
. W szczególności
jest rozwiązaniem kongruencji
. To kończy dowód.
Liczby
-adyczne
Odpowiednio sformułowany lemat Hensela jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania równań w ciałach
-adycznych. Wówczas przedstawione wzory są analogiczne do metody Newtona przybliżonego rozwiązywania równań w liczbach rzeczywistych[2].
Przypisy
- ↑ AdamA. Neugebauer AdamA., Algebra i teoria liczb, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2020 (Matematyka Olimpijska), s. 220, ISBN 978-83-7267-710-5 (pol.).
- ↑ WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 375-377, ISBN 978-83-01-14015-1 (pol.).
Linki zewnętrzne
Hensel lemma (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].