Lokalny homeomorfizm

Lokalny homeomorfizm – takie przekształcenie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ przestrzeni topologicznych, że dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje takie otoczenie ${\displaystyle U_{x}\subseteq X}$ punktu ${\displaystyle x,}$ że

${\displaystyle f|_{U_{x}}\colon U_{x}\to Y.}$

jest homeomorfizmem na otwarty podzbiór przestrzeni ${\displaystyle Y}$^[1].

• Każdy homeomorfizm jest lokalnym homeomorfizmem.
• Twierdzenie Poincarégo-Volterry:

Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej, a ${\displaystyle X}$ jest spójną przestrzenią Hausdorffa oraz ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ jest lokalnym homeomorfizmem, to przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest także lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej^[2].

• Projekcja snopa jest lokalnym homeomorfizmem.
• Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem^[3].
• Przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ określone wzorem

${\displaystyle \varphi (x)=e^{ix}}$

jest lokalnym homeomorfizmem prostej rzeczywistej na okrąg jednostkowy ${\displaystyle |z|=1.}$ Można je interpretować jako nawijanie prostej na okrąg.

• Dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej ${\displaystyle n,}$ przekształcenie

${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

jest lokalnym homeomorfizmem ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

• Rzut powierzchni Riemanna funkcji analitycznej

${\displaystyle w={\sqrt[{3}]{z}}}$

na płaszczyznę zespoloną jest homeomorfizmem lokalnym^[4].