Metoda podziału operatora

Metoda podziału operatora – w mechanice kwantowej podstawowa metoda numeryczna rozwiązywania równania Schrödingera zależnego od czasu. Polega na zastąpieniu potencjału w równaniu Schrödingera jego postacią spróbkowaną^[1].

Niech równanie Schrödingera zależne od czasu będzie dane w ogólnej postaci ${\displaystyle (\hbar =1){:}}$

${\displaystyle {\hat {H}}{\big |}\psi (t)\rangle =i{\tfrac {\partial }{\partial t}}{\big |}\psi (t)\rangle ,}$

gdzie:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}}$

z ogólnym rozwiązaniem

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{{\int \limits _{0}^{t}H(\tau )}d\tau }}|\psi (0)\rangle .}$

Wtedy zastępujemy potencjał potencjałem spróbkowanym

${\displaystyle V(t)\approx \sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\delta (t-n\Delta t)}V(t)\Delta t.}$

Umożliwia to scałkowanie równania dokładnie w każdym przedziale pomiędzy funkcjami ${\displaystyle \delta }$ tzn.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {V}}(0)\Delta t/2}e^{-i{\hat {T}}\Delta t}e^{-i{\hat {V}}(\Delta t)\Delta t}...e^{-i{\hat {T}}\Delta t}e^{-i{\hat {V}}(n\Delta t)\Delta t/2}|\psi (0)\rangle .}$

Każdy z kroków w tym wyrażeniu jest łatwy do wykonania numerycznie. Aby jeszcze obniżyć błąd, pomija się energię kinetyczną dla członu zerowego, tzn. w chwili ${\displaystyle t=0}$ oraz w zerowym i ostatnim członie używa się połowy potencjału.

Przypisy