Miara Hausdorffa

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu ${\displaystyle [0,\infty ]}$ do każdego zbioru w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub ${\displaystyle \infty }$ jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją ${\displaystyle d}$-wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego ${\displaystyle d\geqslant 0,}$ które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Niech ${\displaystyle (X,\rho )}$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru ${\displaystyle U\subset X,}$ niech ${\displaystyle \mathrm {diam} \;U}$ oznacza jego średnicę, to jest

${\displaystyle \mathrm {diam} \;U:=\sup\{\rho (x,y)|x,y\in U\},\quad \mathrm {diam} \;\emptyset :=0.}$

Niech ${\displaystyle S}$ będzie dowolnym podzbiorem ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle \delta >0}$ liczbą rzeczywistą. Definiuje się

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} \;U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\,\operatorname {diam} \;U_{i}<\delta \right\}.}$

Należy zauważyć, że ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem ${\displaystyle \delta ,}$ gdyż im większe jest ${\displaystyle \delta ,}$ tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$ istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

Można zauważyć, że ${\displaystyle H^{d}(S)}$ jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją ${\displaystyle d}$-wymiarową miarą Hausdorffa z ${\displaystyle S.}$

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ mogą się różnić^[1].

Jeśli ${\displaystyle d}$ jest dodatnią liczbą całkowitą, ${\displaystyle d}$ wymiarowa miara Hausdorffa w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ jest przeskalowaną typową ${\displaystyle d}$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda _{d},}$ która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

gdzie ${\displaystyle \alpha _{d}}$ to objętość hiperkuli jednostkowej

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}$

Powyższy wzór upraszcza się do

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E),}$

gdzie ${\displaystyle \beta _{d}}$ jest objętością hiperkuli o jednostkowej średnicy.

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru ${\displaystyle d}$ przestrzeni euklidesowej.

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geqslant 0:H^{d}(S)=0\}=\sup \left(\{d\geqslant 0:H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}\right),}$

gdzie przyjmuje się

${\displaystyle \inf \emptyset =\infty .}$

• miara

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, 1969. ISBN 3-540-60656-4. Brak numerów stron w książce
• Edward Szpilrajn. La dimension et la mesure. „Fundamenta Mathematicae”. 28, s. 81–89, 1937. (fr.).