Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.
Definicja
Niech
będzie przestrzenią topologiczną,
σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech
będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech
oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni
Funkcję
nazywamy miarą spektralną w przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy:
jest operatorem rzutowym dla ![{\displaystyle B\in {\mathfrak {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e3e6ece4b404020cda7e4ebc40180970ed0a0b)
![{\displaystyle E(X)=I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7230e89bb4c348b5b63561a4f57f666eb59837c)
![{\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdee1b0c634e5a00b1219f966a94d61412a9f30f)
- Funkcja
jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.
Własności
- Gdy
oraz
to
w sensie
Ponieważ
więc z powyższego wynika, że
– operator
rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni ![{\displaystyle E(B_{2})H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e505658c08bb24a422014fd8a37e3d624a62f125)
- Jeżeli
oraz
to równość
określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez ![{\displaystyle \|h\|\|k\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e10af6c5eab9911f5e6f9fd24cf65bfa90268ab)
Przykład
Niech
będzie przestrzenią zwartą oraz
– σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli
jest miarą oraz
oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni
całkowalnych z kwadratem w sensie
to funkcja dana wzorem
jest miarą spektralną, gdzie
oznacza funkcję charakterystyczną.
Zobacz też
- hermitowska miara spektralna
- twierdzenie Gelfanda-Najmarka
- twierdzenie spektralne
Bibliografia
- Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce