Nakrycie
![]() | Zobacz też: zastawa stołowa. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Covering_space_diagram.svg/250px-Covering_space_diagram.svg.png)
Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła z przestrzeni topologicznej do przestrzeni topologicznej taka że każdy punkt w ma otoczenie otwarte równomiernie pokryte na skutek działania funkcji (precyzyjna definicja jest podana niżej).
Przestrzeń nazywa się przestrzenią nakrywającą.
Przestrzeń nazywa się przestrzenią bazową (bazą).
Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca jest jednospójna.
Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.
Definicja formalna nakrycia
Nakrycie – ciągła surjekcja taka że dla każdego istnieje przestrzeń dyskretna oraz otoczenie że przeciwobraz otoczenia w odwzorowaniu tj. oraz są homeomorficzne[1]. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.
Definicja włókna
Włóknem nad punktem nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu dla odwzorowania tj.
Definicja krotności włókna
Moc włókna nad punktem nazywa się krotnością nakrycia w punkcie Krotność jest funkcją lokalnie stałą.
Definicja nakrycia n-krotnego
Gdy baza nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym[1].
Przykład
Rozpatrzmy okrąg jednostkowy Odwzorowanie gdzie
jest nakryciem, w którym każdy punkt ma włókno nieskończone[2]. Odwzorowanie jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.