Nakrycie

Zobacz też: zastawa stołowa.

Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła ${\displaystyle p}$ z przestrzeni topologicznej ${\displaystyle Y}$ do przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X,}$ taka że każdy punkt w ${\displaystyle X}$ ma otoczenie otwarte ${\displaystyle U}$ równomiernie pokryte na skutek działania funkcji ${\displaystyle p}$ (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń ${\displaystyle Y}$ nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca ${\displaystyle Y}$ jest jednospójna.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Nakrycie – ciągła surjekcja ${\displaystyle p\colon Y\to X,}$ taka że dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje przestrzeń dyskretna ${\displaystyle A}$ oraz otoczenie ${\displaystyle U\ni x,}$ że przeciwobraz otoczenia ${\displaystyle U}$ w odwzorowaniu ${\displaystyle p,}$ tj. ${\displaystyle p^{-1}(U),}$ oraz ${\displaystyle U\times A}$ są homeomorficzne^[1]. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Włóknem nad punktem ${\displaystyle x\in X}$ nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu ${\displaystyle x}$ dla odwzorowania ${\displaystyle p,}$ tj.

${\displaystyle Y_{x}=p^{-1}(x).}$

Moc ${\displaystyle n=|Y_{x}|}$ włókna nad punktem ${\displaystyle x}$ nazywa się krotnością nakrycia w punkcie ${\displaystyle x.}$ Krotność jest funkcją lokalnie stałą.

Gdy baza ${\displaystyle X}$ nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym^[1].

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy ${\displaystyle \mathbf {S} ^{1}\subset \mathbf {R} ^{2}.}$ Odwzorowanie ${\displaystyle p\colon \mathbf {R} \to \mathbf {S} ^{1},}$ gdzie

${\displaystyle p(t)=(\cos t,\sin t)}$

jest nakryciem, w którym każdy punkt ${\displaystyle \mathbf {S} ^{1}}$ ma włókno nieskończone^[2]. Odwzorowanie ${\displaystyle p}$ jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca ${\displaystyle \mathbf {R} }$ – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.