Nierówność Höldera

Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni ${\displaystyle L^{p}}$ i ${\displaystyle L^{q}}$ jeśli ${\displaystyle p\neq 1}$ oraz ${\displaystyle p\neq \infty .}$

Niech ${\displaystyle (\Omega ,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty }$ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\in L_{p}(\Omega ,\mu )}$ oraz ${\displaystyle g\in L_{q}(\Omega ,\mu ),}$ to ${\displaystyle fg\in L_{1}(\Omega ,\mu )}$ oraz

${\displaystyle \|f\cdot g\|_{L_{1}(\Omega ,\mu )}\leqslant \|f\|_{L_{p}(\Omega ,\mu )}\cdot \|g\|_{L_{q}(\Omega ,\mu )}.}$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje ${\displaystyle f^{p}}$ i ${\displaystyle g^{q}}$ są liniowo zależne.

• Gdy ${\displaystyle p=q=2,}$ to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza (lub Cauchy’ego-Schwarza, a w przypadku całkowym – Buniakowskiego-Schwarza)^[1].

• W przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (lub ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) nierówność Höldera przyjmuje postać:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x,y\in \mathbb {C} ^{n}).}$

• Dla elementów ${\displaystyle x\in \ell _{p},}$ ${\displaystyle y\in \ell _{q}{:}}$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leqslant \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x\in \ell _{p},y\in \ell _{q}).}$

• Niech ${\displaystyle (\Omega ,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }f(x)g(x)\,\mu ({\mbox{d}}x)\right|\leqslant \int _{\Omega }{\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,\mu ({\mbox{d}}x)\leqslant \left(\int _{\Omega }\left|f(x)\right|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/q}\;\;\;(f\in L_{p}(\Omega ),g\in L_{q}(\Omega ))}$

W szczególności, gdy ${\displaystyle \mu =P}$ jest miarą probabilistyczną (tj. ${\displaystyle (\Omega ,P)}$ jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci

${\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leqslant \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\;\;(X\in L_{p}(P),Y\in L_{q}(P)).}$

gdzie symbol ${\displaystyle \mathbb {E} }$ oznacza wartość oczekiwaną.

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech ${\displaystyle p_{k}\geqslant 1,k=1,\dots ,n}$ będą takie, że:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}=1.}$

Załóżmy, że ${\displaystyle u_{k}\in L^{p_{k}}(S).}$ Wtedy ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}u_{k}\in L^{1}(S)}$ oraz

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\right\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}.}$

• warunek Höldera

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. Brak numerów stron w książce