Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.
Reprezentacja pędowa operatora pędu
Operator pędu
definiuje się następująco: działając na stan własny
operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę
zwaną wartością własną
![{\displaystyle {\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31747c1fcafd458ab568e9d9f323f40440c494f)
Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności
![{\displaystyle p(x)=\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\exp \left({\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}px\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652898e564e3f6138fd36a1660d5f9dbf48cac44)
Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)^{*}p(x)\mathrm {d} x=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00063aedf738f4d12900a95b5a2336746fcfa330)
Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości
jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów
może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów
spełnia zależność
![{\displaystyle \langle p'|p\rangle =\delta (p-p'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c004bd74df0449fcf4805301acb5dd03d0bb7e3e)
gdzie
– delta Diraca.
(Ściśle wektory
nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji
całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór
jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się
jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).
Dowolny stan
przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco
![{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412f98c73ba8e7df1e89e3fb92e75f3231370657)
Wielkość
jest funkcją falową stanu
w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu
Korzystając z bazy
wektorów własnych działanie danego operatora
na stan
możemy obliczyć następująco:
![{\displaystyle {\hat {p}}|\psi \rangle \equiv |\psi '\rangle ={\hat {p}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ |p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ {\hat {p}}|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ \mathrm {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}} \ \langle p'|\psi \rangle \ p'|p'\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd05d7364f6d3202af65b7533e78ac0dee44ea7)
Stan
pod wpływem działania operatora
przechodzi więc w inny stan
który jest sumą (całką) po stanach
z amplitudami
Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie
otrzyma się wartość pędu
z gęstością prawdopodobieństwa
![{\displaystyle P(p')=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\langle p'|\psi \rangle \right|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cd19d88dd0fbc91fef6dab45f91fc6312640c6)
Reprezentacja położeniowa operatora pędu
1) Powyżej podany wzór
oznacza, że działanie składowej
operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez
2) W reprezentacji położeniowej składowa
operatora pędu ma postać
![{\displaystyle {\hat {p}}_{i}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963ad101df8851b3a711f29ca86f5933449a528c)
3) Wektorowy operator pędu
definiuje się jako wektor utworzony z operatorów
tj.
![{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e50a430b9bff0957cd69391c020f78d1e0b81f5)
Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=-\mathrm {i} \hbar {\nabla },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd32232d2b1382ffda1207a6c9126811625cd47)
gdzie:
![{\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bca1633e1f9e3845c1aa2387dddeccfa88ef68c)
jest operatorem nabla (gradientu).
Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu
Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=\mathrm {i} \hbar \delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a7e410b74cd238455538480f494c88813bef91)
Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów
musi być operatorem nieograniczonym.
Zobacz też