Operator zwarty

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte^[1]. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.

Dla operatora liniowego ${\displaystyle T\colon E\to F}$ przekształcającego przestrzeń Banacha ${\displaystyle E}$ w ${\displaystyle F}$ następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów^[1].

1. domknięcie obrazu ${\displaystyle T(B)}$ jest zwarte w ${\displaystyle F}$ dla każdego zbioru ograniczonego ${\displaystyle B}$ w ${\displaystyle E}$ (tj. ${\displaystyle T}$ jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
2. domknięcie obrazu ${\displaystyle T(B)}$ jest zwarte w ${\displaystyle F,}$ gdzie ${\displaystyle B}$ oznacza kulę jednostkową w ${\displaystyle E,}$
3. obraz ${\displaystyle T(B)}$ jest całkowicie ograniczony w ${\displaystyle F}$ dla każdego zbioru ograniczonego ${\displaystyle B}$ w ${\displaystyle E,}$
4. dla każdego ograniczonego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ punktów przestrzeni ${\displaystyle E}$ ciąg ${\displaystyle (Tx_{n})}$ zawiera podciąg zbieżny^[2].

Dalej, ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F}$ oznaczają ustalone przestrzenie Banacha.

• Każdy operator zwarty ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły.
• Z lematu Riesza wynika, że operator identycznościowy na ${\displaystyle E}$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ${\displaystyle E}$ jest skończenie wymiarowa.
• Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowy^[3]. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest operatorem zwartym i obraz ${\displaystyle T(E)}$ jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, operator ${\displaystyle T\colon E\to T(E)}$ jest otwarty. Zakładając, że obraz ${\displaystyle T(E)}$ jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość ${\displaystyle T}$ prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej ${\displaystyle B}$ w ${\displaystyle E}$ poprzez ${\displaystyle T}$ nie może być wówczas warunkowo zwarty w ${\displaystyle T(E)}$ (a więc i także w ${\displaystyle F}$).
• Obraz każdego operatora zwartego ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest ośrodkowy^[3][4].
• Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym: operator liniowy ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony ${\displaystyle T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}}$ jest zwarty.
• Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0^[5][6]. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa Fredholma^[7].

Dla danego operatora liniowego ${\displaystyle T\colon E\to F}$ między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne

1. operator ${\displaystyle T}$ jest zwarty,

2. istnieje taki ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ zbieżny do 0 w ${\displaystyle E^{*},}$ że dla wszelkich ${\displaystyle x\in E}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle \|Tx\|\leqslant |f_{n}(x)|,}$

3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych ${\displaystyle (c_{n})}$ oraz taki ograniczony ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ w ${\displaystyle E^{*},}$ że dla wszelkich ${\displaystyle x\in E}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle \|Tx\|\leqslant |c_{n}\cdot f_{n}(x)|,}$

4. istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle H}$ przestrzeni c₀, zwarty operator liniowy ${\displaystyle S\colon E\to H}$ oraz ograniczony operator liniowy ${\displaystyle R\colon H\to F,}$ że ${\displaystyle T=RS}$^[8].

Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez Terzioğlu^[9]. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważne^[10].

Dla każdej przestrzeni Banacha ${\displaystyle E}$ rodzina ${\displaystyle K(E)}$ złożona ze wszystkich operatorów zwartych na ${\displaystyle E}$ tworzy domknięty ideał dwustronny algebry Banacha ${\displaystyle B(E)}$ wszystkich operatorów ograniczonych na ${\displaystyle E}$^[11][12].

• Algebra ilorazowa ${\displaystyle B(E)/K(E)}$ nazywana jest algebrą Calkina przestrzeni ${\displaystyle E.}$ Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli ${\displaystyle H}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to ${\displaystyle K(H)}$ jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem ${\displaystyle B(H)}$^[13].
• Ideał operatorów zwartych jest jedynym ideałem maksymalnym w ${\displaystyle B(E)}$ w przypadku, gdy ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią c₀ bądź ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią ℓ_p dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty .}$ Spiros A. Arjiros i Richard Haydon^[14] podali przykład przestrzeni Banacha ${\displaystyle E}$ z bazą Schaudera o tej własności, że przestrzeń sprzężona ${\displaystyle E^{*}}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \ell _{1}}$ oraz każdy operator ograniczony ${\displaystyle T}$ na ${\displaystyle E}$ jest postaci ${\displaystyle T=cI+S,}$ gdzie ${\displaystyle c}$ jest pewnym skalarem, a ${\displaystyle S}$ jest operatorem zwartym na ${\displaystyle E.}$ Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w ${\displaystyle B(E).}$

• operator słabo zwarty
• operator ściśle singularny
• operator ściśle kosingularny
• twierdzenie spektralne

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
• Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.