Orientacja (matematyka)

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem powierzchnia zorientowana. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu^[1]. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle n}$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ oraz ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia ${\displaystyle P_{ab}}$ od bazy ${\displaystyle (a_{i})}$ do ${\displaystyle (b_{i})}$ jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia ${\displaystyle P_{ba}}$ od bazy ${\displaystyle (b_{i})}$ do ${\displaystyle (a_{i})}$ jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy ${\displaystyle (a_{i}),(b_{i})}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia ${\displaystyle P_{ab}}$ jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnego zorientowania między bazami przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli ${\displaystyle (a_{i})}$ jest ustaloną bazą ${\displaystyle X,}$ to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą ${\displaystyle -a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}.}$ Jeżeli ${\displaystyle \tau }$ jest orientacją ${\displaystyle X,}$ to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem ${\displaystyle \tau }$ i oznaczamy ${\displaystyle -\tau .}$

Parę ${\displaystyle (X,\tau ),}$ czyli przestrzeń liniową ${\displaystyle X}$ wraz z ustaloną jej orientacją ${\displaystyle \tau }$ nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

• powierzchnia zorientowana

• A. Birkolc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.