Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Dla danego tensora z rozmaitości ${\displaystyle M}$ z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru ${\displaystyle (k,l)}$ na tensor wymiaru ${\displaystyle (k+1,l-1)}$ (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru ${\displaystyle (k-1,l+1)}$ (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie skrócenie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:

${\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}$

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:

${\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i}.}$

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}=\delta _{k}^{i},}$

gdzie ${\displaystyle \delta }$ – delta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej.

Należy zauważyć, że nieosobliwość ${\displaystyle g_{ij}}$ nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie ${\displaystyle g^{ij}}$ i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz ${\displaystyle g_{ij}}$ musi być nieosobliwa.

• izomorfizm muzyczny