Pole wektorowe
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Vectorfield.svg/250px-Vectorfield.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Vector_Field.gif/250px-Vector_Field.gif)
Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową[1]. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.
Definicja pola wektorowego
Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta [a]. Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.
Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki:
- funkcja jest -mierzalna dla
- [b] dla każdego
Pole wektorowe
nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje są -mierzalne.
Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu [c].
Przykłady pól wektorowych
Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:
- pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
- pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
- pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
- pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.
Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.
Operacje różniczkowe na polach wektorowych
Dywergencja pola
Dywergencją pola wektorowego określonego w punktach przestrzeni nazywa się pole skalarne równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych wektora
Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.
Rotacja pola
Rotacją pola wektorowego nazywa się pole wektorowe takie że
Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja jest różne od zera w punkcie to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe wiruje.
Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.
Zobacz też
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Pole wektorowe |
- dywergencja pola
- gradient pola
- pole skalarne
- pole tensorowe
- rotacja pola
- teoria pola
Uwagi
- ↑ Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta
- ↑ Zob. podprzestrzeń liniowa.
- ↑ Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.
Przypisy
- ↑ pole wektorowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .
Literatura
- Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
- Britannica: science/vector-field
- БРЭ: 1904269
- Catalana: 0166191