Problem Dirichleta

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.

Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}$

Chcemy ponadto

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

Podstawiając

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau )}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Spełnia go np. funkcja złożona

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

z ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$ więc w ogólności

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

gdzie ${\displaystyle g}$ jest funkcją periodyczną z okresem ${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )}$

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

Zobacz też

• warunki brzegowe