Przedział wielowymiarowy
Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowy – podzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.
Definicja
Niech będą dowolnymi przedziałami w Przedziałem -wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni nazywa się zbiór postaci
Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział -wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których dla pewnego w powyższej definicji jest punktem.
Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.
Objętość
Objętością -wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:
gdzie przez rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez – -wymiarowego; dla wygody indeks bywa zwykle pomijany.
Konwencje
Może się zdarzyć, że dla przedział może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki oraz Przykładem może być prosta na płaszczyźnie która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości
Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli oraz (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu ), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.
Miara zewnętrzna
Zobacz też: miara zewnętrzna.
Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów zawieranie pociąga za sobą nierówność to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów
Zobacz też
Bibliografia
- A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.