Przekrój Dedekinda
![]() | Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem aksjomat ciągłości (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.
Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:
- w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.
Definicja
Niech będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru nazywa się każdą taką parę złożoną z niepustych podzbiorów zbioru że[2]:
- jeżeli oraz to
Zbiór nazywany jest klasą dolną, a zbiór klasą górną przekroju.
Rodzaje przekrojów
Przypuśćmy, że jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:
- zbiór zawiera element największy, a zbiór ma element najmniejszy,
- zbiór ma element największy, ale w zbiorze nie istnieje element najmniejszy,
- w zbiorze nie ma elementu największego, ale w zbiorze istnieje element najmniejszy,
- ani zbiór nie ma elementu największego ani zbiór nie ma elementu najmniejszego,
W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy, że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w Essays on the Theory of Numbers, tłumaczenie i edycja: W.W. Beman, W.W., Dover 1901, 1963.
- ↑ Dedekinda przekrój, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- PWN: 3891246
- Britannica: topic/Dedekind-cut