Przestrzenie Lorentza – klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie Lp. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza[1][2].
Konstrukcja
Niech (X,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Przestrzenią Lorentza Lp,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość
![{\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\|t\mu \{|f|\geq t\}^{1/p}\|_{L_{q}(\mathbb {R} ^{+},{\frac {dt}{t}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0b24b5829bf53b55b91982050be60c4e0f3e75)
jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).
W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór
![{\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x\mid |f(x)|\geq t\right\}^{q/p}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{1/q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205d38abc32d8baa9a33623e721de203c8f6cde)
natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór
![{\displaystyle \|f\|_{L_{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x\mid |f(x)|>t\right\}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8049b07d689756b03e35486e609457a62635f08)
Umownie, definiuje się L∞,∞(X,μ) = L∞(X,μ). W przypadku, gdy p=q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami Lp, tj. Lp,p = Lp.
Normowanie
Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja
![{\displaystyle f^{*}:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8d5ca15c14e838e3aa4c67b6bfc03a939e0b1a)
będzie zdefiniowana wzorem
![{\displaystyle f^{*}(t)=\inf\{\alpha \in \mathbb {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ceb6d55263cad64e78dfc528732152585abdc8)
gdzie dƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ, daną wzorem
![{\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X\colon |f(x)|>\alpha \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a601993498f103a918b5d669c0cebcd6c6fde9)
(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.
Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja
![{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}=\left\{{\begin{array}{l l}\left(\int _{0}^{\infty }(t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t))^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\displaystyle \sup _{t>0}t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t)&q=\infty .\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a352cf0cb0a1c2296356a56618bdab2de52dc926)
jest normą w przestrzeni Lorentza Lp,q.
Przypisy
- ↑ G. Lorentz, Some new function spaces, Annals of Mathematics 51 (1950), 37-55.
- ↑ G. Lorentz, On the theory of spaces Λ, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.