Q-analog

${\displaystyle q}$-analog – twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną ${\displaystyle q,}$ które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy ${\displaystyle q\to 1}$ (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym ${\displaystyle q}$-analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

${\displaystyle q}$-analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (ang. multi-fractal measure) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same ${\displaystyle q}$-szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

${\displaystyle q}$-analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w ${\displaystyle q}$-zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z ${\displaystyle q}$-szeregami.

Zauważając, że

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie ${\displaystyle q}$ do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować ${\displaystyle q}$-analog liczby ${\displaystyle n,}$ znany także jako ${\displaystyle q}$-nawias lub ${\displaystyle q}$-liczba ${\displaystyle n,}$ jako

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Za jego pomocą można zdefiniować ${\displaystyle q}$-analog silni, ${\displaystyle q}$-silnię, jako

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n-1]_{q}[n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\dots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1(1+q)\dots (1+q+\dots +q^{n-2})(1+q+\dots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy ${\displaystyle q\to 1.}$

Korzystając z ${\displaystyle q}$-silni można przejść do definicji współczynników ${\displaystyle q}$-dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech ${\displaystyle q}$ będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba ${\displaystyle q}$ jest wtedy potęgą liczby pierwszej, ${\displaystyle q=p^{r},}$ tak więc wykorzystanie litery ${\displaystyle q}$ jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba ${\displaystyle k}$-wymiarowych podprzestrzeni ${\displaystyle b}$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem ${\displaystyle q}$-elementowym wynosi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.}$

Zbiegając z ${\displaystyle q}$ do ${\displaystyle 1}$ uzyskuje się współczynnik dwumianowy

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}}$

lub innymi słowy liczbę ${\displaystyle k}$-elementowych podzbiorów zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za ${\displaystyle q}$-uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako ${\displaystyle q}$-uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją ${\displaystyle q}$-analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

W przeciwieństwie do uzmienniania ${\displaystyle q}$ i postrzegania ${\displaystyle q}$-analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny ${\displaystyle q=1}$ jako granicę ${\displaystyle q}$-analogów przy ${\displaystyle q\to 1}$ (często nie można po prostu przyjąć we wzorach ${\displaystyle q=1,}$ stąd potrzeba brania granic).

• q-pochodna
• forma modularna
• liczby Stirlinga

• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-analog, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-nawias, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., ''q''-silnia, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., współczynnik ''q''-dwumianowy, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).

• Umbral calculus. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.). Brak numerów stron w książce