Różnica symetryczna zbiorów
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Venn_A_symmetric_minus_B.svg/220px-Venn_A_symmetric_minus_B.svg.png)
Różnica symetryczna zbiorów i – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów[1], czyli zbioru nienależące do zbioru oraz elementy zbioru nienależące do zbioru [2].
To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami[2][3][4]: oraz [5]. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów[2], a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:
Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone[6].
Własności
- Jeśli to
- Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
- Zbiór składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][4].
- Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
- jest operacją łączną,
- jest operacją przemienną,
- ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: [4],
- ma element odwrotny dla dowolnego zbioru – jest nim sam zbiór gdyż [4].
- Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej[7].
- Z powyższych powodów zestaw tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo dla wszystkich Jest to przykład pierścienia Boole’a.
Różnica symetryczna w logice
Przyjmując, że zdanie logiczne oznacza: „ należy do zbioru ”, natomiast zdanie „ należy do zbioru ” to zdanie można równoważnie zapisać jako gdzie oznacza alternatywę rozłączną.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ różnica symetryczna zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-07-07] .
- ↑ a b c Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
- ↑ a b c d Kuratowski 1980 ↓, s. 27.
- ↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 30.
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
- ↑
Jeff Miller, Symmetric difference, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].
- ↑
Symmetric difference of sets (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].
Bibliografia
- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Symmetric Difference, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
- p
- d
- e
Algebra zbiorów
działania |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
własności działań |
| ||||||||
powiązane relacje |
| ||||||||
tworzone struktury algebraiczne |
| ||||||||
inne rodziny zdefiniowane działaniami |
| ||||||||
twierdzenia | |||||||||
powiązane nauki |
| ||||||||
badacze |
|
- Catalana: 0228333