Równanie Darcy’ego-Weisbacha

Równanie Darcy’ego-Weisbacha – równanie opisujące spadek ciśnienia płynu powodowanego przez rozpraszanie energii mechanicznej za pośrednictwem tarcia podczas jego przepływu w przewodzie. Nazwa pochodzi od nazwisk dwóch inżynierów, Francuza Henry’ego Darcy’ego(inne języki) (1803–1858) i Niemca Juliusa Weisbacha(inne języki) (1806–1871). Współczesną formę równania podał w roku 1845 Weisbach^[1][2].

Równanie Darcy’ego-Weisbacha ma następujące równoważne sobie postacie:

${\displaystyle \Delta p=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {\rho u^{2}}{2}}}$

lub

${\displaystyle \Delta h=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {u^{2}}{2g}},}$

gdzie:

${\displaystyle \Delta p}$ – spadek ciśnienia [Pa],

${\displaystyle \Delta h}$ – wysokość strat ciśnienia [m],

${\displaystyle \lambda }$ – współczynnik oporu zależny od liczby Reynoldsa Re i chropowatości względnej rury (bezwymiarowy),

${\displaystyle L}$ – długość przewodu^[a] [m],

${\displaystyle D}$ – średnica (ew. zastępcza) przewodu [m],

${\displaystyle \rho }$ – gęstość płynu [kg/m³],

${\displaystyle u}$ – prędkość płynu [m/s],

${\displaystyle g}$ – przyspieszenie ziemskie^[1] [m/s²].

Uwzględniając opory lokalne:

${\displaystyle \Delta p={\frac {u^{2}\rho }{2}}\left(\lambda {\frac {L}{D}}+\zeta _{1}+\zeta _{2}+\ldots \right)}$

lub

${\displaystyle \Delta p=\lambda {\frac {L_{e}}{D}}{\frac {u^{2}\rho }{2}};\ L_{e}=L+(n_{1}+n_{2}+\ldots )D,}$

gdzie zarówno ${\displaystyle \zeta _{i},}$ jak i ${\displaystyle n_{i}}$ nazywane są współczynnikami oporów lokalnych i są one zestawione w tablicach^[3].

Liczba Reynoldsa dla przepływu w przewodzie zamkniętym dana jest wzorem:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {uD\rho }{\eta }},}$

gdzie:

${\displaystyle D}$ – średnica hydrauliczna przewodu [m],

${\displaystyle u}$ – średnia prędkość płynu [m/s],

${\displaystyle \rho }$ – gęstość płynu [kg/m³],

${\displaystyle \eta }$ – lepkość dynamiczna płynu [Pa s].

Dla Re < 2100:

${\displaystyle \lambda ={\frac {a}{\mathrm {Re} }}}$

Czynnik ${\displaystyle a}$ wynosi dla przewodów:

• kołowych ${\displaystyle a=64,}$
• kwadratowych ${\displaystyle a=57,}$
• pierścieniowych ${\displaystyle a=96,}$
• prostokątnych o stosunku boków 1:2 ${\displaystyle a=59.}$

Dla rury gładkiej oraz 3×10³ < Re < 10⁵ stosuje się powszechnie tzw. wzór Blasiusa:

${\displaystyle \lambda ={\frac {0{,}3164}{\sqrt[{4}]{\mathrm {Re} }}}.}$

Dla rur o chropowatości(k) i przepływie z liczbą Re > 3×10³ (wzór Colebrooka-White’a):

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\lg \left({\frac {2{,}5}{\mathrm {Re} {\sqrt {\lambda }}}}+{\frac {k}{3{,}7d}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle d}$ – średnica rury.

Wzór ten by obliczyć współczynnik oporu wymaga zastosowania metod numerycznych. By w łatwiejszy sposób obliczyć ten współczynnik powstało wiele innych wzorów upraszczających powyższy.

Dla 10⁵ < Re < 10⁸ istnieje wiele konkurencyjnych wzorów empirycznych, z których najpopularniejszym jest:

${\displaystyle \lambda =0{,}0032+{\frac {0{,}221}{\mathrm {Re} ^{0{,}237}}}.}$

• Janusz Ciborowski, Inżynieria procesowa, WNT, Warszawa 1973, wydanie drugie.
• Krystyna Jeżowiecka-Kabsch, Henryk Szewczyk,Mechanika płynów, OWPW, Wrocław 2001.