Równowaga i równoważność

Równowaga i równoważność – bliskoznaczne pojęcia mechaniki teoretycznej dotyczące działania układu sił skupionych na idealnie sztywne ciała fizyczne^[1][2][3]. Mówimy, że dwa różne układy sił są równoważne, gdy ich działanie na to samo ciało, w tych samych warunkach, wywołuje identyczne skutki. Jeżeli to działanie jest zerowe, mamy do czynienia ze stanem równowagi ciała. W tym stanie siły działające na ciało równoważą się, tzn. pozostają w równowadze.

W przypadku ogólnym dowolny układ sił skupionych ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}}$ działających na ciało nieskończenie sztywne w przestrzeni fizycznej, można zredukować równoważnie do dwu wektorów^[4].

Pierwszy z tych wektorów to tzw. wektor główny układu ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} ,}$ który jest określony wzorem

(1)${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {F}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} _{i}.}$

Ze wzoru tego wynika, że ten wektor nie zależy od tego jaki punkt obieramy za biegun redukcji układu sił.

Natomiast drugi wektor ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} ,}$ tzw. główny wektor momentu układu, może być obliczony tylko wówczas, kiedy znany jest biegun redukcji ${\displaystyle 0}$ określony jego współrzędnymi w przyjętym układzie współrzędnych ${\displaystyle 0xyz.}$ Najczęściej przyjmuje się, że biegun ten pokrywa się z początkiem ${\displaystyle 0}$ układu. W tym przypadku wektor ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ jest określony wzorem

(2)${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {M}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {M}} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {r}} _{i}\times \mathbf {\vec {F}} _{i},}$

w którym ${\displaystyle \mathbf {\vec {r}} _{i}}$ jest wektorem wodzącym początku wektora ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}.}$

Wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ otrzymane w wyniku równoważnej redukcji wyjściowego układu sił do punktu ${\displaystyle 0}$ są najprostszym równoważnikiem tego układu.

Opisany sposób redukcji dowolnego układu sił skupionych został dokonany przy arbitralnie przyjętym położeniu bieguna ${\displaystyle 0,}$ od przyjęcia którego zależy wektor główny ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ momentu układu. Powstaje więc pytanie, w jaki sposób zmiana położenia bieguna wpływa na wynik redukcji danego układu sił.

Ze wzoru (1) wynika, że wektor główny ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ nie zależy od położenia bieguna i nie zmienia ani swojej normy, ani kierunku. Ten wektor jest więc (pierwszym) niezmiennikiem zmiany położenia bieguna ${\displaystyle 0.}$ Okazuje się, że istnieje jeszcze drugi niezmiennik tej zmiany. Jest nim iloczyn skalarny ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M}} _{0}=\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M}} _{C}=\mathrm {const} .}$ Niezmienniczość tę można łatwo wykazać.

Niech nowym biegunem redukcji będzie punkt ${\displaystyle C}$ o wektorze wodzącym ${\displaystyle \mathbf {\vec {0C}} .}$ Wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {0C}} }$ wyznaczają płaszczyznę ${\displaystyle \pi .}$ Redukcja do punktu ${\displaystyle 0}$ prowadziła do uzyskania wektorów ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {M_{0}}} ,}$ a redukcja do punktu ${\displaystyle C}$ – do uzyskania wektorów ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {M_{C}}} .}$ Pomiędzy tymi wektorami zachodzi prosty związek

${\displaystyle \mathbf {\vec {M_{C}}} =\mathbf {\vec {M_{0}}} -\mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} .}$

Mnożąc skalarnie ten związek przez ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} ,}$ otrzymujemy

${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{C}}} =\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{0}}} -\mathbf {\vec {F}} \cdot (\mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} )=\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{0}}} =\mathrm {const} .}$

Można teraz postawić pytanie: gdzie powinien znaleźć się punkt ${\displaystyle C}$ tak, aby było

${\displaystyle \mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} =\mathbf {\vec {m}} .}$

Biorąc pod uwagę prostopadłość wektorów, otrzymujemy:

${\displaystyle {\overline {0C}}^{*}\!\!={\frac {|\mathbf {\vec {m}} |}{|\mathbf {\vec {F}} |}}.}$

Odległość tę odmierzamy w kierunku wyznaczonym przez wektor ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} \times \mathbf {\vec {M}} _{0}.}$ Wektor ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} _{S}}$ określa wzór

${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} _{S}=\mathbf {\vec {M}} _{0}-\mathbf {\vec {m}} =\mathbf {\vec {M}} _{0}-\mathbf {\vec {0C}} ^{*}\!\!\times \mathbf {\vec {F}} .}$

Redukcja układu sił do tak wyznaczonego punktu ${\displaystyle C}$ pozwala wyznaczyć dwa wektory: wektor główny ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i tzw. skrętnik układu ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} _{S}}$ (rys. 1).

Rozważmy w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej nieskończenie sztywną bryłę materialną, na którą działa w sposób statyczny skończona liczba sił skupionych. Analityczny opis działania tych sił wymaga podania współrzędnych każdej siły ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}}$ i jej wektora wodzącego ${\displaystyle \mathbf {\vec {r}} _{i}\equiv {\vec {0A_{i}}}}$ liczonego od początku ${\displaystyle 0}$ przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle 0xyz}$ do punktu ${\displaystyle A_{i}}$ przyłożenia siły ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}.}$ Przyjmiemy zatem, że

${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}=[X_{i}\ Y_{i}\ Z_{i}],\quad \mathbf {\vec {r}} _{i}=[x_{i},y_{i},z_{i}],\quad i=1,2,\dots ,n.}$

W rozważanym przypadku układ sił sprowadzamy do wektora głównego ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i momentu głównego ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ liczonego względem punktu ${\displaystyle 0,}$ przy czym

(1a)${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {F}} =[F_{x},F_{y},F_{z}],\qquad \mathbf {\vec {M}} =[M_{x},M_{y},M_{z}]}$

(1b)${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {F}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} _{i},\quad \mathbf {\vec {M}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {M}} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {r}} _{i}\times \mathbf {\vec {F}} _{i}.}$

Wzory (1) rozpisane we współrzędnych przybierają postać sześciu formuł

(2a)${\displaystyle {}\quad F_{x}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},\quad F_{y}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i},\quad F_{z}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i},}$

(2b)${\displaystyle {}\quad M_{x}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}Z_{i}-z_{i}Y_{i}),\quad M_{y}=\sum _{i=1}^{n}(z_{i}X_{i}-x_{i}Z_{i}),}$

(2c)${\displaystyle {}\quad M_{z}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}Y_{i}-y_{i}X_{i}).}$

Warunki równowagi układu można teraz zapisać albo wektorowo

(3)${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {F}} =\mathbf {0} \quad {}}$ i ${\displaystyle {}\quad \mathbf {\vec {M}} =\mathbf {0} ,}$

albo we współrzędnych

(4)${\displaystyle {}\quad F_{x}=F_{y}=F_{z}=M_{x}=M_{y}=M_{z}=0,}$

korzystając ze wzorów (2).

Przedstawimy teraz metody graficzne rzadziej stosowane, a ponadto trudniejsze w realizacji analitycznej. Celem prezentacji jest pokazanie różnych wariantów redukcji ogólnych układów sił do prostszych równoważników.

Dane są wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ otrzymane w wyniku redukcji pewnego układu sił do dowolnie obranego punktu ${\displaystyle 0.}$ Te dwa wektory można teraz zredukować równoważnie do dwóch sił ${\displaystyle \mathbf {\vec {P}} _{1}}$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {P}} _{2}}$ nie leżących w jednej płaszczyźnie. O takich siłach możemy powiedzieć, że tworzą dwójkę zwichrowaną (wichrowatą).

W tym celu przez punkt ${\displaystyle 0}$ prowadzimy płaszczyznę ${\displaystyle \pi }$ prostopadłą do wektora ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} .}$ Na płaszczyźnie tej umieszczamy parę sił ${\displaystyle \mathbf {\vec {S}} }$ o momencie równym ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} }$ i tak aby punkt ${\displaystyle 0}$ leżał na linii działania jednej z nich. Sumujemy dwa współśrodkowe wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {S}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i otrzymujemy w ten sposób dwa wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {P}} _{1}}$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {P}} _{2}}$ nie leżące na jednej płaszczyźnie, czyli zwichrowane i równoważne dwom wektorom wyjściowym ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} .}$

Opiszemy teraz inny sposób redukcji dowolnego układu sił ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i},\;i=1,2,3,\dots n,}$ działających na ciało idealnie sztywne, do równoważnego układu trzech sił ${\displaystyle \mathbf {\vec {W}} _{1},\mathbf {\vec {W}} _{2},\mathbf {\vec {W}} _{3}}$ działających w punktach ${\displaystyle 0_{1},0_{2},0_{3}}$ nie leżących na jednej prostej.

Siły skupione ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}}$ działają na ciało w punktach ${\displaystyle A_{i}.}$ Jeżeli teraz przez każdy punkt ${\displaystyle A_{i}}$ poprowadzimy trzy proste wyznaczone przez odcinki ${\displaystyle {\overline {0_{1}A_{i}}},{\overline {0_{2}A_{i}}},{\overline {0_{3}A_{i}}},}$ to każdą z sił ${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} _{i}}$ można rozłożyć na trzy składowe ${\displaystyle F_{1i},F_{2i},F_{3i}}$ przechodzące przez punkty ${\displaystyle 0_{1},0_{2},0_{3}}$ według reguły równoległościanu zbudowanego na wierzchołkach ${\displaystyle A_{i},0_{1},0_{2},0_{3}.}$ Te składowe można przesunąć po liniach ich działania odpowiednio do punktów ${\displaystyle 0_{1},0_{2},0_{3}.}$ W ten sposób w punktach ${\displaystyle 0_{1},0_{2},0_{3}}$ utworzone zostają trzy pęki po ${\displaystyle n}$ sił koncentrycznych, które można zesumować, otrzymując trzy poszukiwane wektory ${\displaystyle \mathbf {\vec {W_{1}}} ,\mathbf {\vec {W_{2}}} ,\mathbf {\vec {W_{3}}} .}$

Na to, aby układ pozostawał w równowadze, muszą być spełnione warunki

${\displaystyle \mathbf {\vec {W}} =\mathbf {\vec {W_{1}}} +\mathbf {\vec {W_{2}}} +\mathbf {\vec {W_{3}}} =\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} =\mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {W}} =\mathbf {\vec {r}} _{1}\times \mathbf {\vec {W_{1}}} +\mathbf {\vec {r_{2}}} \times \mathbf {\vec {W_{2}}} +\mathbf {\vec {r_{3}}} \times \mathbf {\vec {W_{3}}} =\mathbf {0} .}$

Jako trzeci ze sposobów redukcji można przytoczyć postępowanie opisane w pkt. 1. Dodatkowo trzeba tu podkreślić, że wyznaczony tam punkt ${\displaystyle 0}$ może być przesuwany po prostej równoległej do osi ${\displaystyle 0z}$ układu współrzędnych. Prosta ta nosi nazwę osi centralnej układu.