Słaba topologia operatorowa

Słaba topologia operatorowa (także WOT od ang. weak operator topology) - dla pary przestrzeni Banacha E i F topologia lokalnie wypukła w przestrzeni B(E, F) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych z E do F wprowadzona przez rodzinę półnorm fx, y* danych wzorami:

f x , y ∗ ( T ) = | y ∗ ( T x ) | , {\displaystyle f_{x,y^{*}}(T)=|y^{*}(Tx)|,}

gdzie x ∈ E, y* ∈ F*, T ∈ B(E, F). Słaba topologia operatorowa może być równoważnie opisana przez zbieżność ciągów uogólnionych (sieci):

T α ⟶ W O T T ⟺ y ∗ ( T α x ) → y ∗ ( T x ) {\displaystyle T_{\alpha }{\stackrel {\rm {WOT}}{\longrightarrow }}T\;\iff \;y^{*}(T_{\alpha }x)\to y^{*}(Tx)}

dla wszelkich x ∈ E, y* ∈ F*.

Własności

  • Zachodzi następujący odpowiednik twierdzenia Banacha-Alaoglu: Domknięta kula jednostkowa w B(E, F) jest zwarta w słabej topologii operatorowej wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń F jest refleksywna.
  • Gdy F jest przestrzenią refleksywną, to topologie operatorowe: słaba i słaba* (W*OT) na B(E, F*) pokrywają się.
  • Operacja przyporządkowywania operatora sprzężonego do operatora na przestrzeni Hilberta jest ciągła w słabej topologii operatorowej.
  • Domknięcia C*-algebry (w B(H); H - przestrzeń Hilberta) w sensie słabej i silnej topologii operatorowej (SOT) pokrywają się (por. twierdzenie o drugim komutancie). W szczególności, ciąg uogólniony Tα zbiega do 0 w sensie SOT wtedy i tylko wtedy, gdy T*αTα zbiega do 0 w sensie WOT.

Bibliografia

  • Changsun Choi, Ju Myung Kim, Locally convex vector topologies on B(X,Y), J. Korean Math. Soc. 45 (2008), no. 6, 1677-1703.
  • Gert K. Pedersen, Analysis Now. Springer Verlag, 1989.