Sprzężenie izotomiczne

Konstrukcja sprzężenia izotomicznego punktu P {\displaystyle P} trójkąta Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Na niebiesko zaznaczono proste przechodzące przez wierzchołki oraz punkt P . {\displaystyle P.} Punkty A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} są punktami przecięcia tych prostych z odpowiednimi bokami. Punkty D , E , F {\displaystyle D,E,F} są środkami boków. Punkty A ″ , B ″ , C ″ {\displaystyle A'',B'',C''} są równoodległe od punktów D , E , F , {\displaystyle D,E,F,} co punkty A ′ , B ′ , C ′ . {\displaystyle A',B',C'.} Na czerwono zaznaczono proste izotomiczne do prostych niebieskich oraz wspólny punkt ich przecięcia – sprzężenie izotomiczne punktu P . {\displaystyle P.}

Sprzężenie izotomiczne punktu w trójkącie to inny punkt, określony jednoznacznie poprzez trójkąt oraz położenie punktu wyjściowego punktu.

Definicja i nomenklatura

Niech dany będzie trójkąt Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} oraz punkt P {\displaystyle P} wewnątrz niego. Poprowadźmy półproste wychodzące z wierzchołków trójkąta, przecinające przeciwległe boki (tzw. czewiany) i przechodzące poprzez punkt P . {\displaystyle P.} Oznaczmy poprzez A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} ich przecięcie z odpowiednimi bokami trójkąta. Odbijmy każdy z punktów A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} poprzez środki odpowiednich boków trójkąta i oznaczmy obrazy tych punktów poprzez A ″ , B ″ , C ″ . {\displaystyle A'',B'',C''.} Poprowadźmy teraz proste A A ″ , B B ″ , C C ″ . {\displaystyle AA'',BB'',CC''.} Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy, proste te również przetną się w jednym punkcie P ′ {\displaystyle P'} (jako że długości odcinków na które punkty A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} oraz A ″ , B ″ , C ″ {\displaystyle A'',B'',C''} dzielą boki są takie same)[1][2]. Punkt ten nazywamy sprzężeniem izotomicznym punktu P {\displaystyle P} .

Ponadto, proste A A ″ , B B ″ , C C ″ {\displaystyle AA'',BB'',CC''} nazywane są prostymi izotomicznymi[1] do prostych A A ′ , B B ′ , C C ′ , {\displaystyle AA',BB',CC',} a punkty A ″ , B ″ , C ″ {\displaystyle A'',B'',C''} punktami izotomicznymi do punktów A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} [3].

Współrzędne

Jeśli oznaczmy długości boków trójkąta poprzez a , b , c , {\displaystyle a,b,c,} a współrzędne trójliniowe punktu P {\displaystyle P} poprzez p : q : r , {\displaystyle p:q:r,} to współrzędne sprzężenia izotomicznego punktu P {\displaystyle P} wynoszą

a − 2 p − 1 : b − 2 q − 1 : c − 2 r − 1 . {\displaystyle a^{-2}p^{-1}:b^{-2}q^{-1}:c^{-2}r^{-1}.}

Punkty o współrzędnych barycentrycznych ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} oraz ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (x',y',z')} są sprzężone izotomicznie, gdy zachodzi[4][5]

x x ′ = y y ′ = z z ′ . {\displaystyle xx'=yy'=zz'.}

Własności

Z definicji, jeśli P ′ {\displaystyle P'} jest sprzężeniem izotomicznym punktu P , {\displaystyle P,} to sprzężeniem punktu P ′ {\displaystyle P'} będzie sam punkt P . {\displaystyle P.}

Sprzężeniem izotomicznym centroidu trójkąta (przecięcia wszystkich środkowych) jest z definicji sam centroid[6].

Poniższe pary punktów są względem siebie sprzężone izotomicznie:

  • punktu Nagela oraz punkt Gergonne'a[2][6][7],
  • trzeci punkt Brocarda i punkt przecięcia symedian (zwany punktem Lemoine’a)[8],
  • ortocentrum trójkąta i punkt przecięcia symedian jego trójkąta antydopełniającego[9].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ a b Zetel 1964 ↓, s. 94.
  2. ↑ a b Bottema 2008 ↓, s. 118–119.
  3. ↑ Zetel 1964 ↓, s. 93.
  4. ↑ Casey 1893 ↓, s. 65.
  5. ↑ Casey 1886 ↓, s. 169.
  6. ↑ a b Yiu 1998 ↓, s. 114.
  7. ↑ Casey 1893 ↓, s. 95.
  8. ↑ Casey 1893 ↓, s. 66.
  9. ↑ Casey 1893 ↓, s. 85.

Bibliografia

  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Isotomic Conjugate., [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
  • John Casey: A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples. Dublin: Hodges, Figgis, Co., 1893.
  • Theory of Isogonal and Isotomic Points, and of Antiparallel and Symmedian Lines.. W: John Casey: A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples. Wyd. 3. Dublin: Hodges, Figgis, Co., 1886.
  • Robert Lachlan: An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. Macmillan and Co., 1893.
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
  • S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.