System LTI

System LTI, czyli system liniowy niezmienniczy w czasie – system, który jest liniowy ze względu na wszystkie swoje argumenty (czyli elementy) w dowolnej chwili czasu.

Sygnał to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej wielkości fizycznej. Jest on zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju funkcję postaci ${\displaystyle x(t).}$ Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla każdego i dowolnego czasu ${\displaystyle t.}$ Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość ${\displaystyle x}$ tylko dla skończonej liczby czasów – przykładowo dla ${\displaystyle t=2}$ s zmierzono ${\displaystyle x=0{,}001(x(2)=0{,}001),}$ dla ${\displaystyle t=10{,}8{\text{ s}}}$ otrzymano ${\displaystyle x=-1991(x(10{,}8)=-1991)}$ itd. Nie można jednak zmierzyć wartości ${\displaystyle x}$ dla każdej wartości ${\displaystyle t,}$ gdyż wartości ${\displaystyle t}$ jest nieskończenie wiele.

Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób ciągły ${\displaystyle (x(t)),}$ korzysta się z wartości dyskretnych: ${\displaystyle x[n],}$ gdzie ${\displaystyle n=0,1,2,3,\dots }$ Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego dźwięku, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości ${\displaystyle x}$ natężenia dźwięku dla ${\displaystyle n}$ = 0 sekundy, ${\displaystyle n}$ = 1 sekundy, ${\displaystyle n}$ = 2 sekundy i ${\displaystyle n}$ = 3 sekundy. Zapisuje się to jako ${\displaystyle x[n]=[9,0,-9,-18],}$ skąd ${\displaystyle x[0]=9,}$ ${\displaystyle x[1]=0,}$ ${\displaystyle x[2]=-9}$ i ${\displaystyle x[3]=-18.}$

Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.

Zapis ${\displaystyle x[n]}$ (lub ${\displaystyle x}$) rozumie się po prostu jako sygnał.

System w tym wypadku należy rozumieć jako dowolną fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być filtr. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:

${\displaystyle x[n]{\xrightarrow[{\text{system}}]{}}y[n],}$

gdzie ${\displaystyle y}$ to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, ${\displaystyle x[n]}$ i ${\displaystyle y[n]}$ to wektory, a system jest operatorem (czyli pewną macierzą).

Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:

${\displaystyle x[n]{\xrightarrow[{T\{\}}]{}}y[n]=T\{x[n]\},}$

gdzie ${\displaystyle T}$ oznacza system.

Niech dany będzie sygnał postaci ${\displaystyle ax_{1}+bx_{2},}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.

System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu ${\displaystyle ax_{1}+bx_{2}}$ w następujący sposób:

${\displaystyle T\{ax_{1}+bx_{2}\}=aT\{x_{1}\}+bT\{x_{2}\},}$

lub analogicznie. Powyższe przekształcenie stanowi definicję liniowości.

Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano sekwencję jednostkową o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:

${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n=0\\0,{\text{ dla }}n\neq 0\end{cases}}.}$

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...].

Z powyższej definicji, sygnał δ[n – k] ma postać

${\displaystyle \delta [n-k]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n-k=0{\text{, czyli }}n=k\\0,{\text{ dla }}n-k\neq 0{\text{, czyli }}n\neq k\end{cases}}.}$

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza ${\displaystyle k}$-tym (${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą).

Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał ${\displaystyle x}$ jako pewną sumę sekwencji jednostkowych:

${\displaystyle x[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k].}$

gdzie ${\displaystyle N}$ – liczba elementów sygnału. Przykładowo:

${\displaystyle x[n]=[9,0,-9,-18],}$

${\displaystyle x[n]=9\cdot [1,0,0,0]+0\cdot [0,1,0,0]+(-9)\cdot [0,0,1,0]+(-18)\cdot [0,0,0,1],}$

${\displaystyle x[n]=x[0]\cdot \delta [n-0]+x[1]\cdot \delta [n-1]+x[2]\cdot \delta [n-2]+x[3]\cdot \delta [n-3].}$

Powyższe przekształcenia wynikają z własności wektorów.

Sygnał ${\displaystyle x}$ opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał ${\displaystyle y,}$ będący odpowiedzią systemu:

${\displaystyle y[n]=T{\Big \{}x[n]{\Big \}}=T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}.}$

Jeżeli system jest liniowy, to

${\displaystyle T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}=\sum _{k=0}^{N}x[k]T{\Big \{}\delta [n-k]{\Big \}}.}$

Jeżeli system jest również niezmienniczy w czasie, czyli jego parametry są stale takie same, to odpowiedź systemu na sekwencję jednostkową również będzie wciąż taka sama, jako że sekwencja jednostkowa z definicji nie ulega zmianom. Fakt ten uwzględnia się w zapisie

${\displaystyle T\{\delta [n-k]\}=h[n-k].}$

Stąd ostatecznie

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]h[n-k].}$

System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. linear time-invariant). Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową (pik), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał ${\displaystyle x!}$

Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją splotu:

${\displaystyle y[n]=x[n]\star h[n].}$

• cyfrowe przetwarzanie obrazów
• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• próbkowanie
• widmo