Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.
Teza
Jeżeli w danym trójkącie
jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi
![{\displaystyle d^{2}=R(R-2r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a256f007f4b8ffd4ba2136eea93567b1c14a8d8)
gdzie
i
oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.
Dowód
Niech:
będzie środkiem okręgu o promieniu
opisanego na danym trójkącie ![{\displaystyle ABC,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ba8bdc1521c3d81f33a97ba7e8298d4085a550)
środkiem okręgu o promieniu
wpisanego w ten trójkąt.
Dwusieczna
kąta
przecina okrąg opisany w pewnym punkcie
który połowi łuk
Niech prosta
przecina okrąg opisany w punkcie
Niech
będzie rzutem prostokątnym
na
Trójkąty
i
są podobne (cecha: równość kątów), a zatem
czyli
tzn.
Rozważmy trójkąt
Ponieważ
![{\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a0a6b1697bbc3a76ba9c8cb4bed5c1c1cef7e1)
(
jest dwusieczną kąta
),
![{\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b468dca74838a583e808fe0df8b21a56cf4e79ad)
więc
i
skąd
Niech prosta
przecina okrąg opisany w punktach
i
Wtedy
czyli
tzn.
Uwagi
Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera[1]:
![{\displaystyle R\geqslant 2r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0aaec24112fa38cf9d716d92f641548e7cdd9c)
Przypisy