Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze ${\displaystyle n\times n}$ z elementami ${\displaystyle (a_{ij}).}$ Dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots n\}}$ niech ${\displaystyle R_{i}=\Sigma _{j\neq i}|a_{ij}|}$ gdzie ${\displaystyle |a_{ij}|}$ oznacza moduł z liczby ${\displaystyle a_{ij}.}$ Niech ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})}$ będzie domkniętym kołem o środku w ${\displaystyle a_{ii}}$ i promieniu ${\displaystyle R_{i}.}$ Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.

Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy ${\displaystyle A}$ leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i}).}$

Dowód: Niech ${\displaystyle \lambda }$ będzie wartością własną ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{j})}$ odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech ${\displaystyle i\in \{1,\dots n\}}$ będzie takie, iż ${\displaystyle |x_{i}|=\max {}_{j}|x_{j}|.}$ Wtedy ${\displaystyle |x_{i}|>0,}$ gdyż w przeciwnym wypadku ${\displaystyle \mathbf {x} =0,}$ co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$ lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

${\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\dots ,n\}}$

obustronnie odejmując ${\displaystyle a_{ii}x_{i}}$ dostajemy:

${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.}$

I dzielimy obustronnie przez ${\displaystyle x_{i}}$ (z wyboru i wiemy, że ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$), a także obkładamy modułami:

${\displaystyle |\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leqslant \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}.}$

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku ${\displaystyle |x_{i}|=\max {}_{j}|x_{j}|}$ mamy

${\displaystyle \left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leqslant 1\quad \forall j\neq i.}$

□

Ponieważ wartości własne macierzy ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ są takie same jak macierzy ${\displaystyle A,}$ twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy ${\displaystyle A}$ muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy ${\displaystyle A}$ i sumy kół dla macierzy ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }.}$

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

• S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754.
• R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.
• Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gershgorin Circle Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor