Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa – twierdzenie teorii liczb sformułowanie w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, a udowodnione w 1885 roku przez Karla Weierstrassa^[1].

Twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ są różnymi liczbami algebraicznymi, to liczby ${\displaystyle e^{a_{1}},e^{a_{2}},\dots ,e^{a_{n}}}$ są liniowo niezależne nad ciałem ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ liczb algebraicznych^[1].

Zastosowania

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa pozwala stwierdzić przestępność niektórych liczb.

• Jeżeli ${\displaystyle x\neq 0}$ jest liczbą algebraiczną, to ${\displaystyle e^{x}}$ jest liczbą przestępną. Wystarczy w twierdzeniu Lindemanna-Weierstrassa przyjąć ${\displaystyle a_{1}=0}$ oraz ${\displaystyle a_{2}=x.}$ W szczególności wynika z tego przestępność liczby e.
• Jeżeli ${\displaystyle x\notin \{0,1\}}$ jest liczbą algebraiczną, to ${\displaystyle \ln {x}}$ jest liczbą przestępną. Gdyby ${\displaystyle \ln {x}}$ było liczbą algebraiczną, to ${\displaystyle x=e^{\ln {x}}}$ byłoby liczbą przestępną.
• Przyjmując ${\displaystyle a_{1}=0}$ oraz ${\displaystyle a_{2}=\pi i,}$ a następnie korzystając z tego, że ${\displaystyle e^{\pi i}+1=0,}$ dowodzi się, że liczba π jest przestępna^[1].

Przypisy