Twierdzenie Noether
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Noether_theorem_1st_page.png/220px-Noether_theorem_1st_page.png)
Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, dotyczące związku zasad zachowania z symetriami ciągłymi[1]. Ma fundamentalne znaczenie w fizyce.
Symetrie ciągłe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego
(1) Symetrie ciągłe to np. obroty, translacje.
(2) Symetrie tworzą grupę.
(3) Każda symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem.
(4) Generatory grupy symetrii tworzą grupę, tzw. grupę Liego.
Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają:
- grupa obrotów w przestrzeni euklidesowej SO(n)
- grupa translacji w przestrzeni euklidesowej
- grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n)
- grupa Lorentza obrotów w przestrzeni pseudoeuklidesowej
- grupa Poincarégo
- grupa przekształceń unitarnych U(n) oraz SU(n).
Twierdzenie Noether
Każda ciągła symetria praw fizyki, czyli taka, która nie zmienia
- równań opisujących prawa fizyki
- lub działania S, tj. wielkości definiowanej przez mechanikę Lagrange’a
generuje tyle praw zachowania, ile jest
- niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub
- generatorów grupy Liego.
Symetrie dyskretne
Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji generuje zachowanie parzystości ), ale nie muszą (np. inwersja w czasie nie generuje prawa zachowania).
Przykład: symetrie ciągłe
W mechanice klasycznej obowiązują np. zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje odpowiednich symetrii:
(1) Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości działania względem przesunięcia w czasie: jeżeli działanie S opisujące dany ruch układu nie zależy od czasu, to energia układu jest zachowana. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię, to wówczas działanie jest funkcją czasu – w konsekwencji energia układu zmienia się.
(2) Zasada zachowania pędu odzwierciedla niezmienniczość działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem przesunięcia układu w przestrzeni. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego, to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu.
(3) Zasada zachowania momentu pędu wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem obrotu układu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze spinowym (Patrz np. równanie Diraca, operator spinu)
(4) Zasada zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości funkcji falowej elektronu względem transformacji cechowania, takiej że:
Transformacje generowane są przez ciągły kąt Istnieje więc jeden generator, który tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego.
Zobacz też
- całka ruchu
- niezmiennik
- symetria unitarna
- zasada najmniejszego działania
Przypisy
- ↑ Noether twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-08-07] .
- p
- d
- e
podstawowe zasady zachowania |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
konsekwencje i szczególne postacie |
| ||||
powiązane tematy |
| ||||
uczeni |
- PWN: 3948081
- Britannica: topic/Noethers-theorem
- БРЭ: 2263502
- SNL: Noethers_setning
- VLE: noether-teorema