Współrzędna cykliczna

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Współrzędna cykliczna – jeżeli w hamiltonianie postaci ${\displaystyle H(q_{1},\dots ,q_{n};\ p_{1},\dots ,p_{n})}$ nie występuje explicite dana współrzędna uogólniona ${\displaystyle q_{i},}$ to nazywa się ona współrzędną cykliczną. Pęd ${\displaystyle p_{i}}$ związany z tą współrzędną jest wtedy całką ruchu, czyli jest stały w czasie ruchu.

Niech wszystkie współrzędne w hamiltonianie będą cykliczne i niech będą zmiennymi typu działanie-kąt, tzn. takimi jak kąt i moment pędu w rotorze ${\displaystyle (H=J^{2}/2).}$ Wtedy mamy

${\displaystyle p_{i}=J_{i}=const,}$

${\displaystyle q_{i}=\phi _{i}=J_{i}t+const.}$

Jeśli ${\displaystyle \phi _{i}}$ mają znaczenie fizycznych kątów, wtedy po czasie ${\displaystyle 2\pi 10^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest dokładnością numeryczną ${\displaystyle J_{i},}$ (${\displaystyle J_{i}}$ jako ułamek ${\displaystyle k/10^{n}}$), powrócą one do całkowitej wielokrotności kąta pełnego, a więc system dynamiczny powróci do swojego stanu początkowego po tym czasie. Im większe ${\displaystyle n,}$ tym dłuższy czas ${\displaystyle t.}$ Wyraża to treść twierdzenia Poincarégo, że po dostatecznie długim czasie każdy układ dynamiczny powraca dostatecznie blisko stanu początkowego. Kwantowym odpowiednikiem twierdzenia Poincarégo jest tzw. pełne ożywienie kwantowe funkcji falowej.

W ruchu w potencjale grawitacyjnym hamiltonian ma postać:

${\displaystyle H(r,\theta ,\phi ;p_{r},p_{\theta },p_{\phi })={\frac {GMm}{r}}+{\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+r^{2}{\frac {p_{\theta }^{2}}{2m}}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\frac {p_{\phi }^{2}}{2m}}.}$

W tym przypadku współrzędną cykliczną jest ${\displaystyle \phi ,}$ natomiast pęd ${\displaystyle p_{\phi }}$ jest całką ruchu – można go związać z momentem pędu w kierunku ${\displaystyle z,}$ który jest wielkością stałą w tym ruchu.