Wzór Perrona – twierdzenie analitycznej teorii liczb, które pozwala wyrazić sumę częściową wartości danej funkcji arytmetycznej przy pomocy skojarzonego z nią szeregu Dirichleta. Twierdzenie zostało nazwane po Oskarze Perronie. Wykorzystuje się je w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych, aby problem dyskretny przeformułować w kategoriach funkcji zeta Riemanna[1].
Treść twierdzenia
Zapisywać będziemy , aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.
Niech
będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla . Niech , będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla zachodzi równość
,
gdzie
zapis oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez , gdy jest liczbą całkowitą. W szczególności, gdy , to
.
Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina, treść dowodu można zapisać jako
,
gdzie [2].
Dowód
jest częścią rzeczywistą zmiennej pod całką, więc szereg jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny . Stąd
.
Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie , i ewentualnie trzeci składnik.
,
przy czym zapis oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości
prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych , oraz z nierówności
prawdziwej dla . Dla ,
.
Zaś jeśli , to
,
gdzie oznacza część całkowitą liczby. Występujący czynnik będący szeregiem jest skończony, więc prawa strona dąży do 0 gdy . To dowodzi wzór Perrona[2].
Przykłady
Klasyczne przykłady wykorzystania wzoru Perrona dotyczą przede wszystkim funkcji zeta Riemanna. Wszystkie one dotyczą przedstawienia funkcji na półpłaszczyźnie , ze względu na charakter twierdzenia.
,
,
gdzie oznacza funkcję Mertensa,
gdzie jest drugą funkcją Czebyszewa[2].
Przypisy
- ↑ Eric W. Weisstein: Perron's Formula. Wolfram MathWorld. [dostęp 2024-04-29]. (ang.).
- ↑ a b c Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, s. 245-246, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 .