Zbiór wewnętrzny
Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.
Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych Ciało zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).
Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.
Zbiory wewnętrzne w konstrukcji ultrapotęgowej
Zobacz też: ultrapotęga i ultrafiltr.
Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów zbiór wewnętrzny w jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych gdzie o liczbie hiperrzeczywistej mówi się, że należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów dla których jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji
Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element jest wewnętrzny; podzbiór jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia czyli zbioru potęgowego liczb rzeczywistych itd.
Podzbiory wewnętrzne liczb rzeczywistych
Każdy podzbiór wewnętrzny jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementów[1]). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.
Zobacz też
- funkcja części standardowej
Przypisy
- ↑ Twierdzenie 3.9.1 (Goldblatt, 1998).
Bibliografia
- Robert Goldblatt: Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. T. 188. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics.
- Abraham Robinson: Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996, seria: Princeton landmarks in mathematics and physics. ISBN 978-0-691-04490-3.