Zbiór wewnętrzny

Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.

Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle {\textrm {*}}\mathbb {R} .}$ Ciało ${\displaystyle {\text{*}}\mathbb {R} }$ zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).

Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.

 Zobacz też: ultrapotęga i ultrafiltr.

Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów ${\displaystyle \langle u_{n}\rangle ,}$ zbiór wewnętrzny ${\displaystyle [A_{n}]}$ w ${\displaystyle {\text{*}}\mathbb {R} }$ jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle ,}$ gdzie o liczbie hiperrzeczywistej ${\displaystyle [u_{n}]}$ mówi się, że należy do zbioru ${\displaystyle [A_{n}]\subseteq {\text{*}}\mathbb {R} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów ${\displaystyle n,}$ dla których ${\displaystyle u_{n}\in A_{n},}$ jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji ${\displaystyle {\text{*}}\mathbb {R} .}$

Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element ${\displaystyle {\text{*}}\mathbb {R} }$ jest wewnętrzny; podzbiór ${\displaystyle {\text{*}}\mathbb {R} }$ jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia ${\displaystyle {\text{*}}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),}$ czyli zbioru potęgowego ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ itd.

Każdy podzbiór wewnętrzny ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementów^[1]). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.

• funkcja części standardowej

• Robert Goldblatt: Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. T. 188. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics. Brak numerów stron w książce
• Abraham Robinson: Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996, seria: Princeton landmarks in mathematics and physics. ISBN 978-0-691-04490-3. Brak numerów stron w książce