Zwrot wektora
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Wektor_by_Zureks.svg/220px-Wektor_by_Zureks.svg.png)
Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.
Pojęcie zgodności zwrotu wektorów określa się wśród wektorów o tym samym kierunku. Zwrot jest w zasadzie synonimem strony – dwa wektory o tym samym zwrocie (o zgodnym zwrocie) są skierowane w tę samą stronę, o zwrotach przeciwnych są skierowane w przeciwne strony.
Dla dwóch wektorów o różnych kierunkach lub gdy którykolwiek z nich jest wektorem zerowym, nie można porównać ich zwrotów.
Zmiana znaku współrzędnych wektora swobodnego lub zamiana początku i końca wektora zaczepionego zmienia zwrot wektora na przeciwny.
Definicje formalne
Wprowadza się relację równoważności w zbiorze niezerowych wektorów zwaną relacją zgodności zwrotów:
Dla wektorów zaczepionych
- Dwa niezerowe wektory zaczepione są w relacji gdy po przesunięciu jednego z nich tak, aby ich początki się pokrywały, ich końce będą leżeć na pewnej półprostej o początku identycznym z początkiem obu wektorów[1].
Dla wektorów swobodnych i ogólniej – dla wektorów przestrzeni liniowej na ciałem
- Dwa wektory mają ten sam zwrot, jeśli dla pewnego [2]
W obu przypadkach jest relacją równoważności.
Zwrot wektora zaczepionego jest to ta z jej klas abstrakcji, której reprezentantem jest dany wektor, zwrot wektora swobodnego jest to zwrot jego dowolnego zaczepionego odpowiednika.
O dwóch wektorach należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji mówi się, że mają zgodne (identyczne, te same) zwroty. Wyznaczają one ten sam kierunek.
Wśród wektorów o tym samym kierunku relacja wyznacza dokładnie dwie klasy abstrakcji. O dwóch wektorach wyznaczających ten sam kierunek, ale nie należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji mówi się, że mają przeciwne zwroty.
Związek z kątem między wektorami
Dwa niezerowe wektory o tym samym kierunku (równoległe, czyli w szczególności także leżące na jednej prostej):
- mają zgodne zwroty gdy kąt między wektorami wynosi 0°;
- mają zwroty przeciwne gdy kąt między wektorami wynosi 180°.
Związek z iloczynem skalarnym
Niezerowe wektory o tym samym kierunku:
- mają zgodne zwroty, gdy iloczyn skalarny wektorów jest dodatni;
- mają przeciwne zwroty, gdy jest ujemny.
Ponieważ iloczyn skalarny można zdefiniować bez powoływania się na pojęcie zwrotu wektora, więc można relację dla wektorów swobodnych o tym samym kierunku zdefiniować następująco:
- dwa wektory o tym samym kierunku mają ten sam zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni.
Można też definicji zgodności zwrotu nie zawężać do wektorów o tym samym kierunku:
- dwa dowolne wektory swobodne mają ten sam kierunek i zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi ich długości.
Przykłady zastosowań
Przykłady w fizyce:
- zwrot wektora prędkości ciała, gdy porusza się ono z punktu A do punktu B, jest zgodny ze zwrotem wektora (czyli wektora przemieszczenia).
- zwrot wektorów sił grawitacji, a także dowolnych innych sił przyciągających dwa ciała A,B:
- zwrot wektora siły działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora
- zwrot wektora siły działającej na ciało B jest zgodny ze zwrotem wektora
Przykład w matematyce:
- wektor wskazujący kierunek i zwrot najszybszego wzrostu jakiejś wartości skalarnej w danym punkcie. Długość wektora jest proporcjonalna do szybkości zmiany wartości skalarnej. Zbiór takich wektorów tworzy pole wektorowe zwane gradientem. Wektor o przeciwnym zwrocie do wektora gradientu nazywa się często antygradientem.
Przypisy
- p
- d
- e
- Wektor
- Przestrzeń liniowa
- Macierz
Wektory i działania na nich |
|
---|---|
Układy wektorów i ich macierze | |
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
Przestrzenie liniowe | |
Iloczyny skalarne | |
Pojęcia zaawansowane | |
Pozostałe pojęcia |
|
Powiązane dyscypliny | |
Znani uczeni |