Aplicação de Gauss

Em geometria diferencial, a aplicação de Gauss (também grafado aplicação de Gauß), mapa de Gauss, mapa gaussiano ou aplicação gaussiana (nomeado devido a Carl Friedrich Gauss) relaciona uma superfície no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ para a esfera unitária ${\displaystyle S^{2}}$. Dada uma superfície ${\displaystyle X}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, a aplicação de Gauss é uma aplicação contínua ${\displaystyle N:X\longmapsto S^{2}}$ tal que ${\displaystyle N(p)}$ é um vetor ortogonal a X em p.

A aplicação de Gauss pode ser definida globalmente se e somente se a superfície é orientável, no caso em que seu grau é metade da respectiva característica de Euler. A aplicação de Gauss pode ser sempre definida localmente. O determinante Jacobiano da aplicação de Gauss é igual à curvatura de Gauss.

Gauss foi o primeiro a escrever algo sobre o tópico em 1825, publicando-o em 1827.

A aplicação de Gauss pode ser definida para hipersuperfícies em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como uma função de uma hipersuperfície na esfera unitária ${\displaystyle S^{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Para uma k-subvariedade orientada geral de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a aplicação de Gauss também pode ser definida, e sua imagem é o Grassmaniano orientado ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$, ou seja, o conjunto de todos osk-planos orientados em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Nesse caso, um ponto da subvariedade é relacionado a um subespeço orientado tangente. Ou seja, ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{n-k,n}}$ a partir do complemento ortogonal. No espaço euclidiano tridimensional, isso nos fornece que um 2-plano orientado é caracterizado por uma 1-linha orientada, equivalente a um vetor normal unitário (como ${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$), consistente com a definição dada acima.

A noção de aplicação de Gauss pode ser generalizada para a subvariedade orientada X de dimensão k nnuma Variedade de Riemann M de dimensão n. Nesse caso, a aplicação de Gauss vai de X para o conjunto de k-planos tangentes de um fibrado tangente TM. O conjunto imagem dessa aplicação N é um fibrado de Grassmann construído no fibrado tangente TM. Nesse caso, onde ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$, o fibrado tangente pode ser trivializado (e o fibrado de Grassman se torna uma função com imagem sendo o Grassmanniano).

A área da imagem da aplicação de Gauss é chamada curvatura total' e é equivalente à integral de superfície da curvatura gaussiana. Esta é a interpretação original dada por Gauss. O Teorema de Gauss–Bonnet relaciona a curvatura total da superfície às suas propriedades topológicas.

${\displaystyle \iint _{R}|N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K\ dA}$

Referências

• Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827, em Latim)
• Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
• Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of the Gauss Map, (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. Dreibelbis: Dan's Web Page
• Koenderink, J. J., Solid Shape, MIT Press (1990)

• Weisstein, Eric W. «Gauss Map». MathWorld (em inglês) 
• Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Cusps of Gauss Mappings. Col: Research Notes in Mathematics. 55. Londres: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0. Consultado em 4 de março de 2016 

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