Cardinal inacessível
Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um número cardinal é denominado inacessível se é um cardinal regular, não enumerável e limite forte. Essa propriedade é chamada as vezes de fortemente inacessível e é considerada uma propriedade de grande cardinal.
Definição formal
Um cardinal é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedades[1]:
1) não é enumerável:
onde é o cardinal do conjunto dos números naturais .
2) é regular:
onde é a cofinalidade de .[2]
3) é limite forte:
Um cardinal é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por:
3*) é cardinal limite:[3]
Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade.[4]
Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.[5]
Cardinais inacessíveis e modelos de ZF
Em ZFC, se é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se é inacessível, então é um modelo de ZFC.[6] Em particular, se é o primeiro inacessível, então é um modelo de ZFC + "não existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente.[7] Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente.[8]
Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais " é fracamente inacessível" também é consistente.[9]
Cardinais inacessíveis e teoria de números
Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente:
- a afirmação (mas não a negação) do axioma [sobre a existência de cardinais inacessíveis] implica novos teoremas sobre inteiros[10]
A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck:
- Grothendieck dá uma prova do que os pesquisadores de teoria dos conjuntos já sabiam: a definição de um universo em ZFC é o mesmo que dizer U é o conjunto de todos os conjuntos tomando valores menores que para algum cardinal não enumerável fortemente inacessível .[11]
Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.[12]
Referências
- ↑ KUNEN (1980), p. 34.
- ↑ JECH (2006), p. 31.
- ↑ DRAKE(1974), p. 67.
- ↑ Por exemplo, ERDÖS TARSKI (1943), p. 316.
- ↑ HRBACEK JECH (2006), p. 168.
- ↑ DRAKE (1974), p. 109.
- ↑ KUNEN (1980), p. 133.
- ↑ KUNEN (1980), p. 145.
- ↑ KUNEN (1980), p. 281.
- ↑ GÖDEL (1990), p. 267.
- ↑ MAC LARTY (2010), p. 360.
- ↑ MAC LARTY (2010), p. 374.
Bibliografia
- DRAKE, Frank R (1974). Set theory: An introduction to large cardinals (em inglês). Amsterdam: North-Holland
- ERDÖS, P.; TARSKI, A (1943). «On families of mutually exclusive sets» (PDF). The Annals of Mathematics (em inglês). 44 (2): 315–329 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- GÖDEL, Kurt (1990). Collected Works II. Publications 1938−1974 (em inglês). 2,. Solomon Feferman et al. (eds). New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-503972-6
- HAUSDORFF, Felix (1908). «Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (4): 435–505. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01451165
- HRBACEK, Karen; JECH, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker A referência emprega parâmetros obsoletos
|coautor=
(ajuda) - JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2
- KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9
- LEVY, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover
- MCLARTY, Colin (2010). «What does it take to prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory» (PDF). The Bulletin of Symbolic Logic (em inglês). 16 (3): 359–377
- SIERPIŃSKI, Wacław; TARSKI, Alfred (1930). «Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles». Fundamenta Mathematicae (em francês). 15: 292–300. ISSN 0016-2736 A referência emprega parâmetros obsoletos
|coautor=
(ajuda) - ZERMELO, Ernst (1930). «Über Grenzzablen und Mengenbereiche». Fundamenta Mathematicae (em alemão). 16: 29–47. ISSN 0016-2736
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