Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace.
Dada uma função racional
, em que
e
são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que:
1) Decomposição de fator linear
com multiplicidade n.
[1]
Exemplo:
Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.
Rearrumando os termos do numerador:
A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de
e o numerador original, reagrupamos os termos.
Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2
Portanto a nova fração é dada por:
2) Decomposição de um fator quadrático irredutível
com multiplicidade n:
3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:
Exemplo:
4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside:
Exemplo:
Podemos reescrever a fração como;
Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.
Logo a nova expressão é dada por:
[2]
Frações parciais em Laplace
Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.[3]
Por exemplo:
Sendo
Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como
e então como
Chegando, então, ao seguinte sistema:
Ao resolvê-lo, chegamos em
e
Dessa forma,
que é equivalente à
Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:
Referências
- ↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
- ↑ «Exemplo de Matemática Aplicada II UFRGS» (PDF). Esequia Sauter - UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada [ligação inativa]
- ↑ SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; STRAUCH, Irene (2018). Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.]
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