Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em Lp .
Seja
um espaço normado,
e
e
elementos de
. Então
é um elemento de
, e temos a Desigualdade de Minkowski:
![{\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219bbe9e99563b9bb3c3fbd36d114acdf30c23a4)
A igualdade irá acontecer somente no caso de
e
serem linearmente dependentes.
A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em
.
Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma
:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
onde
são números reais (ou números complexos) e
é a cardinalidade de
.
Demonstração
Dado
, tome
tal que
.
Por definição temos que
![{\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}d\mu =\int |f+g||f+g|^{p-1}d\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf84b4e0f93a332160e386428f6d79942a5fbf58)
Pela desigualdade triangular podemos afirmar que
![{\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu +\int \left|g\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc0fb0e162e36c2f55e2abe1a433e82e986cc8b)
Pela Desigualdade de Hölder temos que
![{\displaystyle \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \leq \left\|f\right\|_{p}\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d869d4931b2820034e4b96c7eae3a35d4a361b6f)
Mas, por definição da norma,
![{\displaystyle \left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}=\left(\int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int \left|\left(f+g\right)\right|^{p}\right)^{\frac {p-1}{p}}=\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d314b14a314e66cf6870cd61730f776032496a)
uma vez que
e
.
Daí concluímos que
![{\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \left(\left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}\right)\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13146e16a3348fd9c99fb53c77703c9410e3f245)
Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por
.
. .
Referências
- G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
- H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)