Fórmula de Machin

A Fórmula de Machin foi formulada por John Machin (1680-1751), que a utilizou para calcular o número pi com 100 casas decimais. Posteriormente, foi usada por William Shanks (1812-1882) para o cálculo de pi com 707 casas decimais.

Fórmula de Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

Dedução

Pelos teoremas de adição de funções trigonométricas temos:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

Manipulação algébrica destas equações fornece:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}.}$

Aplicando esta equação temos:

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1*5+1*5}{5*5-1*1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {10}{24}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5}{12}}}$

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5*12+5*12}{12*12-5*5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120}{119}}}$

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle =4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}}$

${\displaystyle =4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$.

Referências

• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol. 4. 3ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.

• Portal da matemática