No campo da matemática, a forma canónica refere-se de forma geral à forma normal e clássica de representar uma dada relação.
Dizemos que uma equação diferencial parcial está na forma canónica quando ela está escrita na sua forma mais simples, ou seja, sem os termos de derivadas mistas. A ideia básica está em classificar e equação diferencial parcial quanto ao tipo, determinar as equações características e pelo processo de integração encontrar as curvas características, onde as constantes serão as coordenadas características. Utilizando a regra da cadeia para derivadas parciais determinamos as derivadas para as novas variáveis e fazendo a substituição na equação original chega-se, assim a forma canônica. Resumidamente, a forma canónica de, por exemplo, de um monómio, é a sua forma antes de ser resolvida.
Equações
Suponhamos que as funções
não são nulas. Então podemos escolher novas variáveis
de modo que os coeficiente
sejam nulos. Para isso devemos ter
Notamos que as duas equações tem a mesma forma. Então, discutiremos a equação
onde
representa ora,
ora
. Podemos ainda escrever a equação anterior na seguinte forma
Ao longo de uma curva
no plano
temos
de onde obtemos
com a qual nossa equação para
toma a forma
As raízes desta equação de segundo grau são
onde
As duas equações de primeira ordem são chamadas equações características e as respectivas integrais são chamadas curvas características. Visto que tais equações são de primeira ordem elas admitem uma constante de integração cada uma. Devemos notar ainda que se os coeficientes
são constantes as equações características levam a duas famílias de retas, e a equação é do mesmo tipo em todos os pontos de seu domínio, uma vez que
também será constante.
Equação do tipo hiperbólico
Se
temos duas famílias distintas de curvas características e a equação diferencial original se reduz a
onde
Esta é a chamada primeira forma canônica da equação hiperbólica. Ao introduzirmos um segundo par de variáveis independentes
obtemos a segunda forma canônica
Exemplo
Reduza a forma canônica seguinte EDP
.
Solução
(i) classificação: identificando os coeficientes
e calculando
temos:
Equação do tipo parabólico
Se o discriminante
as equações características são idênticas. Neste caso só existe uma família de curvas características, de onde obtemos somente uma curva integral
. Logo a forma canônica para a equação do tipo parabólico e dada por.
Ou
Equação do tipo elíptico
Neste caso
e as curvas características não são reais. Entretanto, se os coeficientes
são funções analíticas podemos considerar a equação
para os complexos
. Desde que
são complexos conjugados, podemos introduzir as variáveis reais
Depois de todas as transformações obtemos:
que é chamada forma canônica da equação elíptica.
Exemplos
Referências
- Álgebra linear como introdução a matemática aplicada - Luis T. Magalhães
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