No cálculo e em outros ramos da análise matemática, os limites de uma combinação algébrica de funções em uma variável independente podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus limites individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma forma indeterminada . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma expressão matemática envolvendo
,
e
. É obtida pela aplicação do teorema do limite algébrico no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.[1][2]
Existem várias formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:[2]
![{\displaystyle 0\div 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db25f3ad4b9aa99156e83187ca8f38eabded7bd3)
![{\displaystyle {\infty }\div {\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a5b4c2d147e6d8b8e41f6f26e7cab63a053cfa)
![{\displaystyle 0\times \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2c67d872e7859a5b51d652639651d1e1384df0)
![{\displaystyle \infty -\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2de5209a9f5b3bab9a466abf9221e9c91755020)
![{\displaystyle 0^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106f0c4e1cbccbfcbb61001a8c17b8427c65366d)
![{\displaystyle 1^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988869a0362e128b4af50b11e2ad596ac5fef5bd)
![{\displaystyle \infty ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f911748ad82beb098e18fd86089f22a4d25688)
![{\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e81c6ac4edeb9411c9b9dc4c53929e6783d2e4f)
![{\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa88b5f59904c66e8240bb8c83135992055cbc3a)
![{\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ed399caccece1c9829917c3fa73a66c9444bb9)
O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada
" .Por exemplo, como
se aproximando de
, as proporções
,
, e
tendem a
,
, e
respectivamente. Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é
, que é indefinido. De uma maneira geral,
pode assumir os valores
,
, ou
, e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.
Então, dado que duas funções
e
ambas se aproximam de
quando
aproxima-se de algum ponto
, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f335169f02dd7591f09f6be3f8c3049289448b)
Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão
é indefinido como um número real, mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá divergir para o infinito, já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.[3]
Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo,
que surge da substituição
para
na equação
não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como divisão por zero ). Outro exemplo é a expressão
. Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual
, dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo Zero à potência de zero . Observe que
e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .
Alguns exemplos e não exemplos
A forma indeterminada
é encontrada regularmente em cálculo, porque com frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.
Como acima mencionado,
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285a1e7416d1b6a0e942d61ce6461a2aea9c8478)
(see fig. 1)
enquanto
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac35875c5b9e08adead37b8192c112229b9ce68b)
(see fig. 2)
Isso é o suficiente para mostrar que
é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33b7a28924651de45d1c14c92de56364a2a93cf)
(see fig. 3)
e
![{\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1368f9af4e71f348f3c13c68f70d7c8b2c9a15)
(see fig. 4)
A substituição direta do número que
se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada
, mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado
pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abe04057d3bed8ddf8143e35b22d326c946830e)
(see fig. 5)
O valor que
também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd1392807ea1d40bd866faa5acc54238a03decc)
(see fig. 6)
-
Fig. 7: y = x 0
-
Fig. 8: y = 0 x
Os limites a seguir ilustram que a expressão
é uma forma indeterminada:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206ea0b08f5249acb14c47563488bf529fed8ce1)
(see fig. 7)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0066fc7b738c27a2499b6c35e3f24e096d56144a)
(see fig. 8)
Assim, em geral, sabendo que
e
não é suficiente para avaliar o limite
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba0e5034de08b12858cd2857f483a99f0db338f)
Se as funções
e
são analíticas em
, e
é positivo para
suficientemente perto (mas não igual) para
, então o limite de
será
.[4] Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.
A expressão
não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que
poderia se aproximar. Especificamente, se
se aproxima de
e
se aproxima de
, então
e
podem ser escolhido para que:
se aproxime de ![{\displaystyle +\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
se aproxima de ![{\displaystyle -\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1)
- O limite não existe.
Em cada caso, o valor absoluto
se aproxima de
, e então o quociente
deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da linha real projetivamente estendida, o limite é o infinito sem sinal
em todos os três casos [3] ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário
com
(Incluindo
e
) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.
A expressão
não é uma forma indeterminada. A expressão
, obtida considerando
, dá o limite
, conquanto que
permanece não negativo como
se aproximando de
. A expressão
é equivalente a
; E se
quando
se aproxima de
, o limite sai como
.
Para ver porque, deixe
Onde
e
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando
concluímos que
o que significa que
O adjetivo indeterminado não implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, a regra de L'Hôpital ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.[1]
Infinitesimal equivalente
Quando duas variáveis
e
convergem para zero no mesmo ponto limite e
, eles são chamados de infinitesimais equivalentes (equiv.
)
Além disso, se as variáveis
e
são tais que
e
, então:
Aqui está uma prova rápida:
Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes
e
.
Para a avaliação da forma indeterminada
, pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre infinitesimais equivalentes (por exemplo,
se x ficar mais próximo de zero):[5]
![{\displaystyle x\sim \arcsin x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd52c8f32fc5e7cfe6b51e164848587e1515f30e)
![{\displaystyle x\sim \sinh x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d6ce8821378d9ff957c0d570371715f4c71e75)
![{\displaystyle x\sim \tan x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbf3dcc7988d31162e6dd9c94511831452d90f7)
![{\displaystyle x\sim \arctan x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9508839fb783b05bdd525556da301c2501b2a5f8)
![{\displaystyle x\sim \ln(1+x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5761ea0747733042578103508e2d17e866416f)
![{\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5625296d389eb5a77e446afb4abe3f9279315db9)
![{\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2f73727fadf207fd58c3554279d88b5efc1081)
![{\displaystyle e^{x}-1\sim x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc1bee10858fca0d8f08da080f5066ff77d57f9)
![{\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa363e7646a21721555bf504cd70722c8476b32)
Por exemplo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77dd026051c68e8a3ae139a8a19259a5ba4ae15)
Na 2ª igualdade,
onde
conforme y se torna mais próximo de 0 é usado, e
onde
é usado na 4ª igualdade, e
é usado na 5ª igualdade.
Regra de L'Hôpital
A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas
e
. Esta regra afirma que, sob condições apropriadas
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176af505eee1af721bdf78d3e8ba1be000aff6dc)
onde
e
são as derivadas de
e
. (Observe que esta regra não se aplica a expressões
,
, e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.
A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 0 :
![{\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305a76116c39aaf0bccdaa8a373218414d650bd0)
O lado direito tem a forma
, então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o logaritmo natural (ln) é uma função contínua ; é irrelevante o quão bem comportado
e
pode (ou não) ser tão longo quanto
é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )
Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos
e
, uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando
para
.
A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.
Forma indeterminada | Condições | Transformação para | Transformação para |
00 | | — | |
![{\displaystyle \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21) | | | — |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Ver também
Referências
Referências
- ↑ a b «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Indeterminate». Math Vault (em inglês). 1 de agosto de 2019. Consultado em 2 de dezembro de 2019
- ↑ a b Weisstein, Eric W. «Indeterminate». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 2 de dezembro de 2019
- ↑ a b «Undefined vs Indeterminate in Mathematics». www.cut-the-knot.org. Consultado em 2 de dezembro de 2019
- ↑ Louis M. Rotando; Henry Korn (Janeiro de 1977). «The indeterminate form 00». Mathematics Magazine. 50: 41–42. doi:10.2307/2689754
- ↑ «Table of equivalent infinitesimals» (PDF). Vaxa Software