Forma indeterminada

No cálculo e em outros ramos da análise matemática, os limites de uma combinação algébrica de funções em uma variável independente podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus limites individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma forma indeterminada . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma expressão matemática envolvendo ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle \infty }$. É obtida pela aplicação do teorema do limite algébrico no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.^[1][2]

Existem várias formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:^[2]

• ${\displaystyle 0\div 0}$
• ${\displaystyle {\infty }\div {\infty }}$
• ${\displaystyle 0\times \infty }$
• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0^{0}}$
• ${\displaystyle 1^{\infty }}$
• ${\displaystyle \infty ^{0}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}$

O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada ${\displaystyle 0/0}$ " .Por exemplo, como ${\displaystyle x}$ se aproximando de ${\displaystyle 0}$, as proporções ${\displaystyle x/x^{3}}$, ${\displaystyle x/x}$, e ${\displaystyle x^{2}/x}$ tendem a ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle 1}$, e ${\displaystyle 0}$ respectivamente. Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é ${\displaystyle 0/0}$, que é indefinido. De uma maneira geral, ${\displaystyle 0/0}$ pode assumir os valores ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ou ${\displaystyle \infty }$, e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.

Então, dado que duas funções ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ ambas se aproximam de ${\displaystyle 0}$ quando ${\displaystyle x}$ aproxima-se de algum ponto ${\displaystyle c}$, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite

 

Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão ${\displaystyle 1/0}$ é indefinido como um número real, mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá divergir para o infinito, já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.^[3]

Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo, ${\displaystyle 0/0}$ que surge da substituição ${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle x}$ na equação ${\displaystyle f(x)=|x|/(|x-1|-1)}$ não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como divisão por zero ). Outro exemplo é a expressão ${\displaystyle 0^{0}}$ . Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual ${\displaystyle 1}$, dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo Zero à potência de zero . Observe que ${\displaystyle 0^{\infty }}$ e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .

• 
  Fig. 1: y = xx
• 
  Fig. 2: y = x²x
• 
  Fig. 3: y = sin xx
• 
  Fig. 4: y = x − 49√x − 7 (para x = 49)
• 
  Fig. 5: y = axx onde a = 2
• 
  Fig. 6: y = xx³

A forma indeterminada ${\displaystyle 0/0}$ é encontrada regularmente em cálculo, porque com frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.

Como acima mencionado,

enquanto

Isso é o suficiente para mostrar que ${\displaystyle 0/0}$ é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem

e

A substituição direta do número que ${\displaystyle x}$ se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada ${\displaystyle 0/0}$, mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado ${\displaystyle a}$ pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:

O valor que ${\displaystyle \infty }$ também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):

• 
  Fig. 7: y = x ⁰
• 
  Fig. 8: y = 0 ^x

Os limites a seguir ilustram que a expressão ${\displaystyle 0^{0}}$ é uma forma indeterminada:

Assim, em geral, sabendo que ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!}$ e ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$ não é suficiente para avaliar o limite

 

Se as funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ são analíticas em ${\displaystyle c}$, e ${\displaystyle f}$ é positivo para ${\displaystyle x}$ suficientemente perto (mas não igual) para ${\displaystyle c}$, então o limite de ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ será ${\displaystyle 1}$ .^[4] Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.

A expressão ${\displaystyle 1/0}$ não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que ${\displaystyle f/g}$ poderia se aproximar. Especificamente, se ${\displaystyle f}$ se aproxima de ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle g}$ se aproxima de ${\displaystyle 0}$, então ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ podem ser escolhido para que:

1. ${\displaystyle f/g}$ se aproxime de ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$ se aproxima de ${\displaystyle -\infty }$
3. O limite não existe.

Em cada caso, o valor absoluto ${\displaystyle |f/g|}$ se aproxima de ${\displaystyle +\infty }$, e então o quociente ${\displaystyle f/g}$ deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da linha real projetivamente estendida, o limite é o infinito sem sinal ${\displaystyle \infty }$ em todos os três casos ^[3] ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário ${\displaystyle a/0}$ com ${\displaystyle a\neq 0}$ (Incluindo ${\displaystyle a=+\infty }$ e ${\displaystyle a=-\infty }$ ) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.

A expressão ${\displaystyle 0^{\infty }}$ não é uma forma indeterminada. A expressão ${\displaystyle 0^{+\infty }}$, obtida considerando ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$, dá o limite ${\displaystyle 0}$, conquanto que ${\displaystyle f(x)}$ permanece não negativo como ${\displaystyle x}$ se aproximando de ${\displaystyle c}$ . A expressão ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ é equivalente a ${\displaystyle 1/0}$ ; E se ${\displaystyle f(x)>0}$ quando ${\displaystyle x}$ se aproxima de ${\displaystyle c}$, o limite sai como ${\displaystyle +\infty }$ .

Para ver porque, deixe ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ Onde ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ e ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ concluímos que${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ o que significa que ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

O adjetivo indeterminado não implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, a regra de L'Hôpital ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.^[1]

Quando duas variáveis ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ convergem para zero no mesmo ponto limite e ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$, eles são chamados de infinitesimais equivalentes (equiv. ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$ )

Além disso, se as variáveis ${\displaystyle \alpha '}$ e ${\displaystyle \beta '}$ são tais que ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ e ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$, então:

 

Aqui está uma prova rápida:

Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ e ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$ .

 

Para a avaliação da forma indeterminada ${\displaystyle 0/0}$, pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre infinitesimais equivalentes (por exemplo, ${\displaystyle x\sim \sin x}$ se x ficar mais próximo de zero):^[5]

  

 

 

 

 

  

 

 

 

Por exemplo:

 

Na ^2ª igualdade, ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ onde ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ conforme y se torna mais próximo de 0 é usado, e ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ onde ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ é usado na ^4ª igualdade, e ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$ é usado na ^5ª igualdade.

A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas ${\displaystyle 0/0}$ e ${\displaystyle \infty /\infty }$ . Esta regra afirma que, sob condições apropriadas

 

onde ${\displaystyle f'}$ e ${\displaystyle g'}$ são as derivadas de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ . (Observe que esta regra não se aplica a expressões ${\displaystyle \infty /0}$, ${\displaystyle 1/0}$, e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.

A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 ⁰ :

 

O lado direito tem a forma ${\displaystyle \infty /\infty }$, então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o logaritmo natural (ln) é uma função contínua ; é irrelevante o quão bem comportado ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ pode (ou não) ser tão longo quanto ${\displaystyle f}$ é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )

Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos ${\displaystyle 0/0}$ e ${\displaystyle \infty /\infty }$, uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando ${\displaystyle f/g}$ para ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$ .

A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condições	Transformação para ${\displaystyle 0/0}$	Transformação para ${\displaystyle \infty /\infty }$
00	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

• Divisão por zero
• Regra de L'Hôpital

Referências