Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.
Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5
Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo[1] e de Análise Real[2].
Definição
Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,
: I ⇒ R³; t ⇒
em que:
- , , são as funções componentes de ;
- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;
- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.
Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro realt, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões , e de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:
;
onde , , são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de .
Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:
;
Norma de uma Função Vectorial
Considerando uma função vetorial da forma:
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:
Dada uma função vetorial definimos o limite de quando tende a em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:
Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.
Dizemos, ainda, que é contínua em quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:
pertence ao domínio de
existe o
Dizemos que é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.
Derivadas
Dada uma função vetorial definimos a derivada de em relação a por:
Dizemos que é derivável (diferenciável) em quando existe. Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.
Segue da definição de derivada que . Além disso, vemos que é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para .
Regras de derivação
Sejam e funções vetoriais diferenciáveis, um vetor constante, uma função escalar diferenciável e um número real. Valem as seguintes regras de derivação:
O ponto "" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.
Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial
Seja o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por ou assume-se que a função é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.
Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a , analogamente, corresponde à sua aceleração.
Integrais
Dada uma função vetorial , definimos sua integral indefinida em relação a por:
onde é uma primitiva de , i.e. , e é um vetor indeterminado.
Além disso, se é qualquer primitiva de no intervalo , então a integral definida de de a é dada por:
que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se com e funções integráveis em , então:
.
Vale resultado análogo para .
Categorias de Funções Vetoriais
Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.