Grado (ângulo)

Grado é uma unidade de medida de ângulos planos equivalente a π⁄200 do radiano ou 9⁄10 do grau,^[1] ou seja a 1⁄400 de uma rotação completa (revolução).^[2] O símbolo internacional para esta unidade^[3] é gon (do grego: γωνία = gōnía; "ângulo"). No passado foram utilizados, entre outros, os símbolos gr, grd e g, este último algumas vezes como sobrescrito, de modo similar ao símbolo de grau (p. ex.: 50^g = 45°).

O termo grado tem origem no termo francês grade e foi proposto para uso em conjunto com o sistema métrico, embora não fazendo parte do Sistema Internacional de Unidades (SI).^[4] O termo original não foi bem aceito no norte da Europa devido à potencial confusão com outras unidades preexistentes que se designavam por grad(e), daí resultando a posterior adopção do símbolo gon, primeiro naquela região, depois como símbolo padrão internacional. Em alemão, a unidade foi originalmente designada como Neugrad (novo grau), o que foi seguido em algumas línguas escandinavas (Nygrad em dinamarquês e norueguês e Nýgráða em islandês). Na Europa continental, o termo de origem francesa centigrado foi utilizado para designar a centésima parte de um grado (1⁄100 gon) e o termo miriogrado para a décima milésima parte do grado (1⁄10 000 gon). Esta foi uma das razões que, para evitar a confusão com a unidade de temperatura, foi o termo Celsius foi adoptado para substituir centígrado como o nome da escala de temperatura homónima.^{[carece de fontes?]}

Foram feitas tentativas para a introdução generalizada do grado como unidade de ângulo plano, mas a unidade foi adoptada apenas por alguns países e em áreas especializadas, como a topografia e a artilharia. A artilharia francesa usa o grado há décadas. O grau, 1⁄360 do círculo, ou o matematicamente conveniente radiano, 1⁄(2π) do círculo,^[5] são geralmente usados em lugar do grado. Nas décadas de 1970 e 1980, a maioria das calculadoras científicas oferecia o grado em alternativa ao radiano e ao grau para operações com funções trigonométricas, mas nos anos mais recentes o grado foi abandonado. ^{[carece de fontes?]}.

Uma vantagem do grado como unidade é tornar os ângulos rectos fáceis de somar e subtrair na aritmética mental. Outra vantagem, decorre da definição original do metro, de 1889, que estabelecia que 1 metro é o comprimento equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Portanto, 1 grado, quando medido sobre um círculo máximo terrestre, equivale a aproximadamente 100 km sobre a superfície da Terra, pelo que 1 centigrado do arco terrestre equivale a 1 km.^[6]

Quando se utiliza o grado como unidade angular em geometria bidimensional, cada quadrante corresponde a 100 gon, o que facilita o reconhecimento dos quatro quadrantes e a aritmética que envolva ângulos perpendiculares ou opostos. Dessa relação resulta:

Uma vantagem adicional da relação atrás exposta é tornar os ângulos rectos fáceis de adicionar ou subtrair em aritmética mental, o que pode ser útil em navegação e orientação geográfica. Por exemplo, quando a viajar numa rota de 117 gon (medidos no sentido horário a partir do Norte), então a direcção perpendicular para a esquerda é 17 gon, para a direita 217 gon e para trás 317 gon.

A utilização do grado é também conveniente quando se trabalha com vectores no plano complexo. Nessas circunstâncias, o expoente da unidade imaginária em qualquer vector é igual ao seu ângulo (argumento) em hectogrados (100 gon) medido a partir do semieixo x positivo: ${\displaystyle i^{n}}$ tem um argumento de ${\displaystyle 100n}$ grados.

Em muitas regiões, em operações topográficas, o grado é usado por padrão como a unidade angular. As subdivisões do grado usadas em topografia são o centigon (1^c = 1/100 gon = 0,01 grado) e o 0,1 mgon (1^cc = 1/10 000 gon = 0,1 mgon = 0,0001 grado).

1c = 0,54′	1′ = ${\displaystyle {\tfrac {10\,000}{5400}}\,{}^{\mathrm {c} }={\tfrac {50}{27}}\,{}^{\mathrm {c} }=1{,}{\overline {851}}\,{}^{\mathrm {c} }}$
1cc = 0,324″	1″ = ${\displaystyle {\tfrac {1\,000\,000}{324\,000}}\,{}^{\mathrm {cc} }={\tfrac {250}{81}}\,{}^{\mathrm {cc} }=3{,}{\overline {086\,419\,753}}\,{}^{\mathrm {cc} }}$

Como principal desvantagem, a utilização de grados leva a que os ângulos comuns de 30° e 60° tenham valores fraccionários em grados (33,33(3) gon e 66,66(6) gon, respectivamente), o que dificulta as operações trigonométricas. Do mesmo modo, a velocidade angular da Terra, de 15°/hora, passa a ser 16,66(6) gon/hora (ou 162⁄3 gon/hora), dificultando o cálculo mental dos ângulos solares e da hora.

A conversão entre graus, radianos e grados obedece às seguintes relações:

${\displaystyle 1\,\mathrm {gon} ={\frac {1\,\mathrm {circ} }{400}}={\frac {2\pi \,\mathrm {rad} }{400}}={\frac {\mathrm {360^{\circ }} }{400^{\,\,}}}=0{,}9^{\circ }}$

pelo que:

Unidade	Valor
Rotação	0	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\tau }$	${\displaystyle 1\tau }$
Graus	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianos	0	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$	2${\displaystyle \pi }$
Grados	0g	${\displaystyle {\tfrac {100^{g}}{3}}}$	50g	${\displaystyle {\tfrac {200^{g}}{3}}}$	100g	200g	300g	400g

Notas

• Frequência angular
• Mil angular (por mil de artilharia)
• Análise harmónica
• Esterradiano
• Trigonometria

• Radiano no MathWorld
• Radiano em Ask Dr Math.
• grade
• gon
• centigrade
• Gradian :Dictionary of Units