Grupo linear especial

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O grupo linear especial, SL (n, F), é o grupo de todas as matrizes de determinante 1.[1] Elas são especiais em que elas se encontram em uma subvariedade - satisfazem uma equação polinomial (como o determinante é um polinômio nas entradas). Matrizes deste tipo formam um grupo como o determinante do produto de duas matrizes é o produto de cada um dos determinantes da matriz.

SL(n, F) é um subgrupo normal de GL(n,F). Se escrever F× para o grupo multiplicativo[2] F (excluindo 0), então o determinante é um homomorfismo de grupos

det : GL ⁡ ( n , F ) → F × . {\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }.}

que é sobrejetivo e seu kernel[3] [4] é o grupo especial linear. Portanto, pelo primeiro teorema de isomorfismo,[5] GL(n,F)/SL(n,F) é isomorfo a F×. De fato, GL (n,F) pode ser escrita como um produto semidireto:

GL(n,F) = SL(n,F) ⋊ F×

Quando F é R ou C, SL (n, F) é um subgrupo de Lie[6] de GL (n, F) de dimensão n2 − 1. O colchete Lie[7][8] é dado pelo comutador. O grupo especial linear SL(n,R) pode ser caracterizado como o grupo de volume e orientação[9] preservando transformações lineares de Rn.[10]


O grupo SL(n,C)[11] é simplesmente conectado enquanto SL(n,R) não é. SL(n,R) tem o mesmo grupo fundamental como GL+(n, R), isto é, Z para n=2 e Z2 para n>2.

Referências

  1. ↑ Pedro Vaz (2004). «Representações induzidas e quantização geométrica das órbitas coadjuntas de SU(2) e SL(2; C)» (PDF). FCT - Universidade do Algarve. Consultado em 30 de março de 2013 
  2. ↑ Luan Pereira Bezerra, Otavio Marcal Leandro Gomide, Patricia Marcal e Priscilla Lima Galcino (10 de dezembro de 2012). «Grupo Multiplicativo de um Corpo Finito» (PDF). University of Campinas (UNICAMP) Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science. Consultado em 31 de março de 2013  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
  3. ↑ CWoo (29 de novembro de 2006). «kernel of a homomorphism between algebraic systems». Consultado em 30 de março de 2013 
  4. ↑ Serge Lang (1987). «Linear algebra (Undergraduate Texts in Mathematics)» (PDF). Springer-Verlag Science+Business Media. Consultado em 28 de março de 2013 [ligação inativa] }}
  5. ↑ Jerry Shurman (1 de maio de 2012). «THE THREE GROUP ISOMORPHISM THEOREMS» (PDF) 
  6. ↑ Florin Spinu (2008). «LIE GROUPS AND LIE ALGEBRAS» (PDF). Johns Hopkins University - Department of Mathematics. Consultado em 4 de abril de 2013 
  7. ↑ Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
  8. ↑ Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds, ISBN 978-0-387-94338-1, Springer-Verlag  For generalizations to infinite dimensions.
  9. ↑ Todd Rowland. «Vector Space Orientation». Wolfram MathWorld. Consultado em 13 de abril de 2013 
  10. ↑ L. Green. «Linear Transformations on Rn». Lake Tahoe Community College. Consultado em 13 de abril de 2013 
  11. ↑ «Automorphisms of the fine grading of sl(n,C) associated with the generalized Pauli matrices». J. Math. Phys. 43, pg. 1083-1094. 10 de novembro de 2003 
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