Lema de Gauss

Na teoria de polinómios, o lema de Gauss, ou critério da irredutibilidade de Gauss, afirma que se ${\displaystyle D}$ é um domínio de factorização única (DFU) e ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é o seu corpo de quocientes (o corpo de fracções), então todo o polinómio primitivo ${\displaystyle p\in D[x]}$ é irredutível em ${\displaystyle D[x]}$ se, e só se o é em ${\displaystyle \mathbb {K} [x].}$ Neste contexto, um polinômio primitivo é um polinômio cujos coeficientes tem máximo divisor comum igual a um.

O critério de irredutibilidade de Gauss proporciona um resultado muito útil para demonstrar certas propriedades de divisibilidade nos anéis de polinómios.

Pela equivalência que assinala o critério entre a irredutibilidade de um polinómio primitivo em ${\displaystyle D[x]}$ e a irredutibilidade do mesmo polinómio em ${\displaystyle \mathbb {K} [x],}$ pode demonstrar-se que a ser ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ um DFU também o é ${\displaystyle D[x].}$

Uma consequência importante do critério de irredutibilidade de Gauss é que se ${\displaystyle D}$ é um DFU então também o é ${\displaystyle D[x],}$ seja ou não este último anel um domínio de ideais principais (DIP). Assim, por exemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ não é um DIP mas sim é um DFU.